Mennyi az 1/1,00...01 (19 db számjegy a vessző után) számnak a tizedesvessző utáni 2015. számjegye?

Kísérleti alapon tudom a választ. :-)

1/1,1=0,909090909090909...

1/1,01=0,990099009900990...

1/1,001=0,999000999000999...

.

1/1,00001=0,999990000099999...

Ahány tizedesjegy van a 1,0..1 számban, annyi kilences és nulla jön egymás után a reciprokban

Jobb bizonyítást egyelőre nem tudok;

Folytatva a fenti gondolatmenetet, az a sejtésünk, hogy tetszőleges pozitív egész n-re 1/1,000...01 = 0,999...000..., ahol a bal oldali tört nevezőjében n darab tizedesjegy található. Általánosabban; 1/(1 + 1/10^n) = 0,999...000... .

Tegyük fel, hogy mindig ilyen alakú számot kapunk. Jelölje a törtalakot A, ekkor

A = 0,999...000, ahol a tizedesvessző után n darab 9-es található.

Szorozzuk meg ezt a számot annyiszor 10-zel, hogy a tizedesvessző után kerüljön az első 0. Ehhez 10^n-nel kell szoroznunk mindkét oldalt:

A * 10^n = 999...,000...999...000...

Ha összeadjuk ezt a két egyenletet, akkor az egyenlet bal oldalán A + A*10^n keletkezik, a jobb oldalon lévő számok összege pedig 999...,999... lesz, a tizedesvessző után végtelen sok 9-essel, előtte pedig n darab 9-essel. Tudjuk azt, hogy 0,999...=1, tehát gyakorlatilag a jobb oldalon a 99999999... + 1 szám összege látható, ami így 10000000... egész szám lesz, ahol az 1 után n darab 0 található, ez a szám így felírható 10^n alakban. Tehát ezt az egyenletet kapjuk:

A * 10^n + A= 10^n, a bal oldalon kiemelünk A-t:

A*(10^n +1) = 10^n, it pedig osztunk 1+10^n-nel:

A = 10^n/(10^n +1). Ha ezt a törtet egyszerűsítjük 10^n-nel, akkor ezt kapjuk:

A = 1/(1 + 1/10^n), és ez volt a feltevésünk, ami így igaznal bizonyult.

Tehát akkor az osztás eredményében 20 darab 9-es után 20 darab 0 következik, és így tovább, felváltva. Innen már nem nehéz kideríteni a 2015. számjegyet.