Melyik lehet az a két pozitív egész szám, amelyek legnagyobb közös osztója 19-cel kisebb, a legkisebb közös többszörösénél?

[a,b]-(a,b)=19 => (a,b)|19 =>(a,b)=1 vagy (a,b)=19

Innen megy?

#1

Nincs más megoldás?

De van.

{1;20},{4;5},{19,38}

Ha (a;b)=1, akkor

[a;b] - 1 = 19, vagyis [a;b] = 20, így olyan két számot kell keresni, amelyre

(a;b) = 1 és [a;b] = 20

Van egy azonosság, ami tud itt nekünk segíteni;

(a;b) * [a;b] = a*b, esetünkben:

1*20 = a*b, vagyis 20 = a*b

Tehát két olyan pozitív egész szám kell nekünk, amelyek szorzata 20. Lehetséges megoldások: 1*20, 2*10, 4*5 (és ezek fordítottjai). Ezekre kell megnéznünk, hogy melyeknél teljesül, hogy a két szám legnagyobb közös osztója 1 és legkisebb közös többszörösük 20. A 2*10 nem jó, a másik kettő (és azok fordítottjai) igen.

Ha (a;b)=19, akkor

[a;b] - 19 = 19, amire [a;b] = 38

Itt is tudjuk az előbbi azonosságot használni;

19 * 38 = a*b, vagyis 722 = a*b

Itt is megtehetjük, hogy 722-nek összeszedjük az osztópárjait, viszont a helyzetünkön tudunk kicsit javítani; tekintve, hogy (a;b)=19, ezért a és b is osztható 19-cel, ezért az egyenletet osztjuk kétszer 19-cel, ekkor ezt kapjuk:

2 = (a/19) * (b/19)

A jobb áttekinthetőség kedvéért a két tört legyen c és d egészek:

2 = c*d

Tehát most két olyan szám kellene, amelyek szorzata 2, legnagyobb közös osztójuk 1 (mivel osztottuk a számokat 19-cel), de szerencsére túl sok lehetőség nincs, egyedül az 1*2, innen pedig a (19;38) számpárt kapjuk végeredményül.

Más megoldás nincs.