Egymás mellé írunk kilenc számjegyet, melyek mindegyike 0 vagy 1. Kiszámítjuk mindegyik két szomszédos számjegy szorzatát, majd a szorzatok összegét, és így az eredmény 5. Hányféle lehet a kilenc számjegy sorrendje?

Könnyen meggondolható, hogy 3 és 4 1-es kevés. Még 5 darab 1-essel sem lehet megcsinálni, mert a maximális összeg akkor lép fel, amikor az 5 darab 1-es egymás mellett áll, és például

111110000-ban a szorzatösszeg 4.

6 darab 1-es elég, és ekkor a maximális összeg 5, ami csak úgy állhat elő, ha az 5 darab 1-es egymás mellett szerepel. Mivel 0-val nem kezdődhet nemnulla egész szám, ez pontosan azt jelenti, hogy az első 6 számjegy 1-es, a maradék 3 0-s. Ez a szám tehát konkrétan 111111000.

7 darab 1-esnél az az alapgondolat, hogy 1-essel kell kezdenünk, ez fix, és a 6 darab egyest cipeljük együtt, tehát itt 3 lehetőség lenne, de ebből le kell vonni azt az esetet, amikor az első 7 jegy 1-es, mert akkor túlcsordul az összeg.

Látható, hogy 8 darab 1-essel az összegünk már túlcsordul, 9-nél szintén.

Tehát összesen 2+1=4 lehetőség van, ezek a következők:

111111000

101111110

100111111

#2

Jó levezetés, de a feladat leírásából szerintem nem következik, hogy a számsor nem kezdődhet 0-val.

"Egymás mellé írunk kilenc számjegyet..."

Csak ennyi a kikötés.

A levezetést rövidítve: kell, hogy legyen az egyesknek egy hatos csoportja (jelöljük H-val), amit 0-ák vagy szélek határolnak. A többi hely betöltése változhat, de nem lehet 2 db 1-es egymás mellett.

Ennek alapján a szabadon elhelyezett számjegyek növekvő sorrendben, a hatos csoport egyre hátrább:

H0 és 00, 01, 10 (vagyis H000, H001, H010)

0H0 és 0, 1 (vagyis 0H00, 0H01)

0, 1 és 0H0 (vagyis 00H0, 10H0)

00, 01, 10 és 0H (vagyis 000H, 010H, 100H)

Összesen 10.

Korrekció: lehet az 1-eseknek 5-ös csoportja is (Ö), ha van még egy különálló 1-es pár.

Ö0 és 011, 110 (vagyis Ö0011, Ö0110)

0Ö0 és 11 (vagyis 0Ö011)

11 és 0Ö0 (vagyis 110Ö0)

011, 110 és 0Ö (vagyis 0110Ö, 1100Ö)

Ez további 6 lehetőség.

Egyesek 4-es csoportja (N) esetén az 1-esek 3-as csoport kell még, vagy 2 db 1-es pár:

N0 és 0111, 1110

0N0 és 111

111 és 0N0

0111, 1110 és 0N

Ez még 6 lehetőség.

Vagy 1-esekből 2db 3-as csoport és egy pár. De ez a 2 db elválasztó 0-val együtt már túl sok számjegy.

A végeredmény: 10+6+6=22. (Ha nem rontottam el valahol.)

Már csak azt kell megnézni, hogy a kérdésre válaszoltunk-e, mert oké, hogy összeszámoljátok/felsoroljátok, hogy hányféle lehet a számsor (amúgy ez nekem is 22 lett), de a kérdés az, hogy

> „Hányféle lehet a kilenc számjegy sorrendje?”

Márpedig, ha az egyeseket az egyesektől, a nullákat a nulláktól nem tudjuk megkülönböztetni, akkor a 9 elem lehetséges 9! sorrendjét el kell osztani (3!*6!)-sal, ha 6 darab egyes van, és (2!*7!)-sal, ha 7 darab egyes van. Szóval a végeredmény az az, hogy

9!/(2!*7!) = 9*8/2 = 36

vagy

9!/(3!*6!) = 9*8*7/6 = 84-féle

lehet a 9 számjegy sorrendje a megadott információk ismeretében.