Hogy kell megoldani az alábbi 2 kombinatorika-feladatot?

1. Bontsuk két csoportra a számokat; legyenek a 0-t tartalmazó és a 0-t nem tartalmazó számok (mivel 0-val nem kezdődhet szám, ezért ez okozhat gondot).

0-t nem tartalmazó számok: először nézzük meg, hogy hányféleképpen tudunk két számjegyet kiválasztani, erre a válasz (9 alatt a 2)=36, de az esetek akár manuálisan összeszedhetőek (1-2, 1-3, ..., 8-9).

Nézzük meg, hogyha például az 1-et és a 2-t választjuk ki, akkor mennyi lehetőségünk van. Mindegyik helyiértékre mehet bármelyik szám, vagyis 2*2*2*2*2=32-féle számot tudtunk megszámolni, ebben viszont vannak rossz számok is, amik manuálisan kiszűrhetőek: az 11111 és a 22222, tehát ezeket ki kell vennünk, így 30-féle számot tudunk megszámolni.

Mivel 36-féle páros van, ezért minden párosban 30 lehetőséget találunk, így 36*30=1080 olyan ötjegyű szám van, amelyben pontosan két számjegy van és nem tartalmaz 0-t.

0-t tartalmazó számok: a 0 fixen van, hozzá 9-féleképpen tudunk számjegyet választani. Vegyük példának a 0-1 párost, belőlük 1*2*2*2*2=16-féle ötjegyű számot tudunk kreálni, viszont ebben az 11111 szintén benne van, tehát megint ki kell vennünk, így 15 jó szám van. Bármelyik számjegyet választjuk a 0-hoz, mindig ennyi fog kijönni, így 9*15=135 olyan ötjegyű szám van, amelyben pontosan két számjegy szerepel, amiből az egyik a 0.

Összesen tehát 1080+135 = 1215 darab, a feladatnak megfelelő szám létezik.

2. Ebben a feladatban azt kell megértenünk, hogy minden szám felírható összeként, az összeg tagjainak sorrendje pedig szabadon felcserélhető. Például:

123456 = 100000 + 20000 + 3000 + 400 + 50 + 6, ezzel mondjuk nagyon extra dolgot nem mondtam. Ami viszont ennél fontosabb, hogy gyakorlatilag csak azt kell megnéznünk, hogy az így kapható számok hányszor szerepelnek az összegben.

Kellene tudni, hogy a számjegyek hányszor használhatóak fel. Én most úgy nézem, hogy mindegyik egyszer.

Ha megnézzük az 1-gyel kezdődő számokat, akkor azokból 5! = 120 darab van. Ez azt jelenti, hogy a szétbontás után a 100000 számot 120-szor találjuk meg, amiket könnyebb úgy összeadni, hogy 120*100000. Ezt gyakorlatilag mindegyik, szétbontással kapható számra el lehet játszani. Ha ügyesek vagyunk, nem kell egyesével; bármelyiket vizsgáljuk, mindig előkerül ez az 5!=120 eredményként. Ennek megfelelően az összeg:

120*(100000 + 200000 + 300000 + 400000 + 500000 + 600000 + 10000 + 20000 + 30000 + 40000 + 50000 + 60000 + 1000 + 2000 + 3000 + 4000 + 5000 + 6000 + 100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6), és ezt ki lehet számolni.

Ha többször is felhasználhatóak a számjegyek, akkor hál' istennek csak annyi változik, hogy a 120 helyett 6^5=7776 lesz.

Még egyszer; azt kell megnézni, hogy ha összeadnánk az összes számot, tehát 123456 + 123465 + 123645 + ... + 654321, majd ezeket szétbontanánk úgy, hogy 100000 + 20000 + 3000 + 400 + 50 + 6 + 100000 + 20000 + 3000 + 400 + 60 + 5 + 100000 + 20000 + 3000 + 600 + 40 + 5 + ... + 600000 + 50000 + 4000 + 300 + 20 + 1, akkor ebben az azonos számok hányszor szerepelnének.

Ha azt akarnánk megnézni, hogy a 100000 szám hányszor szerepel, ahhoz azt kell megnéznünk, hogy hány hatjegyű számban szerepel az első helyen az 1-es számjegy. Ha az 1-est lefixáljuk, akkor a maradék 5 szám a maradék 5 helyen 5!-féleképpen tud elhelyezkedni, és ezért kell 5!-sal, és nem 6!-sal szorozni.

Ha azt akarnánk megnézni, hogy a 4000 hányszor szerepel, akkor a 3. helyre lefixálnánk a 4-est, a maradék számot a maradék helyekre szintén 5!=120-féleképpen tudjuk elhelyezni, tehát a 4000-ből is 120 darab lesz. Az analógiát követve pedig az összesből is szintén ugyanennyi lesz.

Természetesen lehet más megközelítést is alkalmazni, én ezt a fajtát írtam le.

"1. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyekben pontosan két különböző szám szerepel?"

Azaz 2 különböző és 3 egyforma.

a. Válasszuk ki ezeket az 1-9 számok közül. Hányféleképpen lehet kiválasztani? Hányféle sorrendbe lehet a kiválasztott számokat állítani?

b. Legyen az egyik különböző a 0. Válasszuk a többit az 1-9 közül. Hány szám lehet, ha elöl is lehet 0? Hány szám lehet, ha a 0 elöl van fixen. A kettő különbsége adja a jó megoldásokat.

c. Válasszuk a 0-t az egyformáknak. stb...

a+b+c

"2. Mekkora az 1, 2, 3, 4, 5, 6 jegyekből alkotható hatjegyű számok összege?"

6! darab ilyen számunk van. Az egy helyen előforduló számjegyek átlagértéke 3,5. Az összes szám átlaga: 3,5*111111. Ezt kell szorozni a számok darabszámával.