Mennyi a minimális összhosszúság?

Azt mondanám, hogy a súlypontból a csúcsokhoz futó úthálózat lesz minimális hosszúságú.

A bizonyításhoz 3 tetszőleges csúcspont koordinátáit és egy negyedik pontot kellene használni. Az utak távolságát felírva talán valami négyzetes és számtani közép közötti egyenlőtlenség kiadja, hogy a csúcsok számtani közepe (ez a súlypont) lesz az optimális.

Izogonalis pont.

Nézz utána.

#3, szerintem elég a számtani-mértani közti összefüggés;

Legyen a három útszakasz a;b;c, ekkor az utak összhossza a+b+c, ezt akarjuk minimalizálni. Ha 3-mal osztunk, az nem befolyásolja azt, hogy az összeg mikor lesz a legkisebb, ekkor (a+b+c)/3-at kapunk, erről pedig tudjuk, hogy (a+b+c)/3 >= köbgyök(a*b*c). Egyenlőség akkor van köztük, hogyha a=b=c, tehát akkor lesz a legkisebb az összeg, hogyha az útszakaszok egyenlő hosszúak. Ez pedig akkor valósul meg, hogyha a csomópontot a falvak által meghatározott háromszög köréírható körének középpontjába tesszük.

A köréírható kör sugarát nem nehéz meghatározni; mivel a háromszög mindhárom oldala adott, ezért a területet rögtön ki tudjuk számolni a Héron-képlettel, majd használhatjuk a T=(a*b*c)/(4R) képletet, ahol T az előbb kiszámolt terület, a;b;c az oldalak, R pedig a keresett sugár.

A kérdésre a válasz pedig 3*R.

"Csak azt nem értem, hogy hol a hiba a gondolatmenetben..."

Ott, hogy ha köbgyök(a*b*c)-t az értékek megválasztásával csökkenteni tudjuk, akkor lehet, hogy a+b+c annak ellenére kisebb lesz az általad leírt megoldásnál, hogy nagyobb marad, mint köbgyök(a*b*c).

[link]

sqrt(129)