Valaki segítene nekem?

Húzd be azokat az egyeneseket, amelyek ezzel a tulajdonsággal bírnak és párhuzamosak az oldalakkal, ezekből összesen van 4. Ezek közül 2-2 metszi egymást valahol, tehát összesen 4 metszéspontot kapsz. Ezután azt kell megmutatnod, hogy minden "jó" egyenes áthalad ezen metszéspontok valamelyikén.

Ha ezzel megvagy, akkor onnantól kezdve már csak sima skatulyaelv.

Ez a tétel nem igaz.

Ugyanis azt írtad "egy négyzetet két olyan NÉGYSZÖGre oszt". Egyetlen oldalra lehet 13 különböző szögben egyeneseket állítani. Az alappontok tologatásával be lehet állítani a két-két négyszög területének arányát. Egy legyezőszerűség alakul ki, ahol minden ponton legfeljebb 2 egyenes megy át.

Bár az én gondolatmenetem jó volt, mégsem teljesen úgy működik a dolog, ahogyan elképzeltem; amiket közös pontoknak írtam, nem azok lesznek a közösek.

Koordinátageometriailag viszonylag könnyedén lehet kezelni a problémát; vegyük azt a négyzetet, melynek négy csúcsa: A(0;0), B(7;0), C(7;7), D(0;7), és vizsgáljuk az AB-n keresztülmenő egyenesek egy csoportját.

Ránézésre megmondható, hogy az x=3 egyenletű egyenes teljesíti a feltételeket. Amire még rá kell jönnünk, az az, hogy a négyzetet minden esetben két trapézzá bontja fel az egyenes. Tudjuk a trapéz területképletét: T=(a+c)*m/2, ahol a és c a trapéz két párhuzamos oldala, m pedig a magassága (ami a párhuzamos oldalak távolsága). Esetünkben a négyzet területe 7*7=49 területetség, ezt kell nekünk 3:4 arányban osztanunk, így a kisebbik trapéz területe 49*(3/7)=21 területegység, a nagyobbiké 49*(4/7)=28 területegység.

Koncentráljunk csak az egyik területre, például a 21-re, ekkor beírva a képletbe:

21 = (a+c)*7/2, ennek megoldása 6 = (a+c), tehát a két párhuzamos oldalnak az összhossza 6 egység kell, hogy legyen. Ez az x=3 egyenletű egyenesnél is megvan, ugyanis a kisebbik téglalap (ami egyben trapéz is) szemközit oldalaira is igaz, mivel 3+3=6.

Itt a következő gondolatmenetet tudjuk követni; ennek a téglalapnak az oldalai 3 egység hosszúak. Megtehetjük ezt, hogy az AB oldalon ettől k-nyit balra lépünk (ahol k értéke 3-nál kevesebb kell, hogy legyen, mert akkor a felosztással az egyik síkidom háromszög lesz), ekkor a másik oldalon a trapéz oldala 3+k hoszsú kell, hogy legyen, mert ekkor lesz az összegük 6. Ez azt jelenti, hogy a két oldalon ki tudunk jelölni egy pontpár a k paraméter függvényében:

P( 3-k ; 0)

Q( 3+k ; 7)

Erre pedig fel tudjuk írni az egyenes egyenletét k paraméter mellett;

PQ->: (2k ; 7), ennek egy normálvektora: n-> (-7;2k), így az egyenes egyenlete:

-7*x + 2k*y = -7*(3-k)

Azt meg tudjuk mutatni, hogy az ÖSSZES ezt meghatározó egyenesnek van közös metszéspontja, ami a (3 ; 3,5) pont.

A k paramétert ki tudjuk a másik irányba is bővíteni, vagyis jobbra is tolhatjuk az AB-n lévő (3;0) pontot, vagyis k értéke (-3)-nál többnek kell lennie. Magyarán ha a (0;0) és a (6;0) pontok által meghatározott szakaszról választunk pontot (a végpontokat nem választhatjuk), hozzájuk pedig a (0;7) és (7;6) pontok által meghatározott szakaszról választunk párt, akkor az azokra és az azoknak a párjaira fektethető egyenesek közös metszéspontja a (3 ; 3,5) pont lesz.

Itt szimmetriaokokra hivatkozhatunk; ha a négyzetet elforgatjuk 90°-onként a négyzet középpontja körül, akkor minden esetben megfelelő egyeneseket kapunk, ezáltal a különféle egyenesek csoportjaira 4 közös metszéspontot kapunk ( ezek: ( 3,5 ; 4 ), ( 4 ; 3,5 ), ( 3,5 ; 3) ), vagyis bármelyik megfelelő egyenes ezen négy pont valamelyikén át fog haladni. Szintén a hasonlóságra hivatkozva, bármilyen négyzet felrajzolható pont ugyanígy (legfeljebb a koordinátarendszer skáláit kell változtatnunk), és akkor is ez a négy metszéspont lesz megtalálható.

Innentől pedig a feladat egyszerű skatulyaelv.

Kérdés, hogy tisztán geometriailag hogyan lehet ezt belátni. Kíváncsian várom, hogy valaki meg tudja-e adni.

Előzetesen: a #2 hozzászólásom hibás.

A geometriai bizonyítás: válasszunk ki egy oldalt, amelyik felé a kisebb darab fog esni. Húzzunk az oldallal olyan párhuzamost, ami a megfelelő arányban osztja a négyzetet.

Húzzunk be egy tetszőleges olyan egyenest is, ami szintén a megfelelő arányban oszt. A két egyenes két hasonló háromszöget fog kivágni. Az egyik hozzáadódik a kisebb területhez, a másik levonódik. A két hasonló háromszög területe egyenlő, emiatt egybevágóak. Vagyis a háromszöget alkotó oldalak páronként egyenlőek. Bármely egyenes, ami megfelelően oszt, át fog menni a párhuzamos felezőpontján.

Az első mondatnak megfelelő oldalt 4 féleképpen tudjuk választani. Négy párhuzamosunk és négy különböző felezőpontunk lesz. Ha minden felezőponton 3 egyenes megy át, akkor a 13-dik egyens csak olyan lehet, ami negyedikként illeszkedik egy felezőpontra.

#5, szép megoldás, valami ilyesmire gondoltam, csak nem állt nekem össze a kép.

A világért sem akarnék kötözködni veled, de a skatulya-elves bizonyításod nem jó, és ezt tapasztalatból mondom. Amikor így oldottuk meg az egyetemen, akkor mindig szóltak, hogy ez így 0 pontos lesz. Az indok az, hogy ezzel a megközelítéssel csak azt az egy konkrét esetet vizsgáljuk, amikor mindenkit "feltöltünk", de adott esetben akár lehetne más megoldás is.

A helyes bizonyítás így néz ki; tegyük fel indirekt, hogy az állítás nem igaz, ekkor az lesz igaz, hogy minden ponton legfeljebb 3 egyenes haladhat át. Ez azt eredményezi, hogy legfeljebb 12 egyenest tudunk megszámolni, pedig nekünk 13 egyenesünk van, ezért ellentmondásra jutottunk, így az indirekt állítás nem lehet igaz, tehát az eredeti lesz az igaz.

"a skatulya-elves bizonyításod nem jó"

Ez egy másfajta bizonyítás. Az az alapja, hogy egy rögzített tagszámú összeg legfeljebb annyi, mint a tagok felső korlátjának összege.

#7, igen, csak az a baj, hogy te így fogalmaztál:

[Ha minden felezőponton 3 egyenes megy át,]

Tehát ezzel a megfogalmazással te csak azt az egy esetet vizsgálod, amikor mindegyik ponton 3 egyenes halad át. Tehát hozzá kellene még tenni, hogy ha meg nem minden ponton 3 egyenes halad át, akkor mi történik.

A skatulya-elves bizonyításban pont az a jó, hogy nem kell esetszétválasztást vizagálni.