Mennyi a középső szakasz hossza?

Legyen a derékszögű háromszög befogóinak hossza x, ekkor átfogója x*gyök(2) hosszú. Húzzuk be az átfogóhoz tartozó magasságot, ami x*gyök(2)/2 hosszúságú lesz. Ez a magasság érthető okokból felezi az átfogót.

A magasság a "belső" háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Az egyikben a másik befogó hossza (x*gyök(2)/2 - 6) hosszúságú, a másikban (x*gyök(2)/2 - 8) hosszúságú lesz. Ezek ismeretében a "belső" háromszög oldalainak hosszát Pitagorasz tételével meg tudjuk adni.

Ez azt eredményezi, hogy a "belső" háromszögnek ismerjük (x függvényében) az összes oldalát. Az oldalak:

1. GYÖK[ (x*gyök(2)/2)^2 + (x*gyök(2)/2 - 6)^2]

2. GYÖK[ (x*gyök(2)/2)^2 + (x*gyök(2)/2 - 8)^2]

3. x*gyök(2)/2 - 14

Mivel ez az x*gyök(2)/2 egy csomó helyen szerepel, ezért érdemes lecserélni egy másik ismeretlenre; legyen x*gyök(2)/2=y, ekkor ezt kapjuk:

1. GYÖK[ y^2 + (y - 6)^2]

2. GYÖK[ y^2 + (y - 8)^2]

3. y - 14

Ebben a háromszögben az y-14 hosszú oldallal szemközti szög 45°-os, így ebben a háromszögben fel tudjuk írni a koszinusztételt:

(y - 14)^2 = GYÖK[ y^2 + (y - 6)^2]^2 + GYÖK[ y^2 + (y - 8)^2]^2 - 2*GYÖK[ y^2 + (y - 6)^2]*GYÖK[ y^2 + (y - 8)^2]*cos(45°)

Ez egy egyismeretlenes egyenlet, amiből ha jól látom, egy negyedfokú egyenlet lesz. A WolframAlpha meg tud vele birkózni:

[link]

Mivel ennek nem túl szép az eredménye (és x-re sem lesz sokkal szebb), ezért szerintem ennek a feladatnak nincs szép geometriai megoldása.

Illetve még olyat jó lenne tudni, hogy a kérdező hallott-e már a koszinusztételről, illetve mennyire jártas negyedfokú egyenletek megoldásában.

Véletlenül rosszul végeztem el egy összevonást, és ez borította az egészet... A belső háromszög harmadik oldala (x*gyök(2) - 14) hosszúságú, így átnevezés után (2y - 14) lesz belőle, így az egyenletnek is szép megoldásai lesznek:

[link]

#5 - Nem tudom mennyire szép, de kihozható csak hasonlósággal és Pithagorasz tételekkel.

[link]

#7

Nagyon szép!

#8

Én arra gondoltam, hogy mivel a (6; 8; 10) Püthagoraszi számhármas, akkor lehet erre építve megoldást kapni valamilyen transzformációval, de ...

A #7 megoldása remek.