Hogy oldanátok meg ezt a harmonikus közepes matekpéldát? (Sürgős)

Legyen a két pozitív szám \(a\) és \(b\), ahol \(a > 0\) és \(b > 0\). Ezeknek a számoknak a mértani közepét és harmonikus közepét a következőképpen írjuk fel:

Mértani közép: \(M_G = \sqrt{ab}\)

Harmonikus közép: \(M_H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\)

Most vegyük észre, hogy \(a > 0\) és \(b > 0\), tehát mindkét szám pozitív. Ebben az esetben a mértani közep kiszámítása érvényes, mivel a gyökvonás pozitív értéket ad vissza pozitív bemenettel.

Most vizsgáljuk meg, hogy a harmonikus közep mikor lehet nagyobb a mértani közepnél:

\[M_H > M_G\]

Helyettesítsük be a mértani és harmonikus közep kifejezéseit:

\[\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} > \sqrt{ab}\]

Szorozzuk meg mindkét oldalt \(ab\)-vel (mindkét oldal pozitív, tehát az egyenlőtlenség iránya nem változik):

\[2\sqrt{ab} > ab\]

Most emeljük mindkét oldalt 2-re:

\[4ab > a^2b^2\]

Most osztjuk el mindkét oldalt \(ab\)-vel (mivel \(a\) és \(b\) pozitív, nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát):

\[4 > ab\]

Most pedig vegyük észre, hogy ha \(a\) és \(b\) pozitív, akkor \(ab\) mindig kisebb lesz vagy egyenlő \(a\) és \(b\) összegével:

\[ab \leq a + b\]

De most azt találtuk, hogy \(4 > ab\), ami ellentmond a fentieknek. Tehát az eredeti feltétel, hogy a harmonikus közep nagyobb lenne a mértani közepnél, nem teljesülhet.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy két pozitív szám harmonikus közepének nem lehet nagyobb a mértani közepüknél.