Határozzuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre a 8p^2+1 is prímszám?

Ha p=3, akkor 8*3^2+1=73 prím

Ha p nem osztható 3-mal, akkor 8p^2+1 osztható 3-mal, azaz nem prím.

Az #1 jól írja.

Annyival kiegészíteném, hogy ha a negatív egészeket is megengedjük, akkor a (-3) is lehet a p értéke.

#3, és ki mondta neked, hogy ez egy középikolás feladat?

Egyébként jobb helyeken ki szoktak arra is térni, hogy a prímszámok értelmezése kiterjeszthető a negatív egészekre is, ugyanis csak annyi a helyzet, hogy a prímszámok ellentettjei lesznek még prímek.

"A prímszám nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van a természetes számok között", tehát a negatív számok nem prímszámok!

Egyébként vezessem le neked, hogy a 8p^2+1 miért osztható mindig 3-mal, ha p nem egyenlő 3-mal?

A bizonyítás:

Ha p nem egyenlő 3-mal, de prím, akkor biztosan nem osztható 3-mal, tehát hárommal osztva 1 vagy 2 maradékot ad. Így felírható (3x+1) vagy (3x+2) alakban. Ha ezt négyzetre emeljük, akkor (9x^2+6x+1)-et vagy (9x^2+12x+4)-et kapunk. Ezek a számok 3-mal osztva 1 maradékot adnak, hiszen felírhatóak (3*(3x^2+2x)+1) vagy (3*(3x^2+4x+1)+1) alakban. Ha ezt megszorzom 8-cal, a 3-mal osztható rész továbbra is osztható 3-mal, a +1-ből viszont +8 lesz, ami 3-mal osztva 2 maradékot ad. Így ha ehhez 1-et hozzáadunk, az összeg biztosan osztható 3-mal, tehát nem prímszám.