Sin (négyzet) x-sin2x-3cos (négyzet) x=0 Ezt h kell megoldani?

Adott egy olyan összefüggés, hogy sin^2x + cos^2x = 1 (sinusnégyzet x + cosinus négyzet x egyenlő egy),

tehát sin^2x = 1-cos^2x , cos^2x = 1-sin^2x

ebből adódóan sin^2x -sin2x -3(1-sin^2x) = 0

sin^2x - sin2x -3+3sin^2x = 0 , összevonás után:

4sin^2x -sin2x -3 = 0

na most sin2x nem egyenlő 2sinx-el, tehát nem tudsz új egyenletet felírni, tehát gondolkozni kell tovább (ugye arra gondoltam, hogy legyen T ismeretlen sinx, és akkor 4t^2 - 2t -3 = 0, és másodfokú egyenletet kapunk).

sin2x = 2sinxcosx

4sin^2x -sin2x -3 = 0

4sin^2x -2(sinxcosx) -3 = 0

és most itt el is akadtam hirtelen :D

A feladat

sin²x - sin2x - 3*cos²x = 0

Kicsit átrendezve

sin²x - 3*cos²x = sin2x

sin²x - 3(1 - sin²x) = sin2x

sin²x - 3 + 3*sin²x = sin2x

4*sin²x - 3 = 2*sinx*cosx

4*sin²x - 3 = 2*sinx*√(1- sin²x)

Mindkét oldalt négyzetre emelve

(4*sin²x - 3)² = 4*sin²x*(1- sin²x)

sin²x = a

(4a - 3)² = 4a(1 - a)

...

Asszem, innentől már menni fog.

Csak érdekességképpen

A = sin²x - sin2x - 3*cos²x = 0

Kiemelem a cos²x-t

A = cos²x(tg²x - 2tgx - 3) = 0

A zárójeles mennyiség a megoldóképlettel megoldható, de van jobb is, mivel szorzattá alakítható

tg²x - 2tgx - 3 = tg²x - 2tgx + 1 - 4 = (tgx - 1)² - 4 = (tgx - 1 + 2)(tgx - 1 - 2)

Így

A = cos²x(tgx + 1)(tgx - 3)

A gyökök a

cosx = 0

tgx = -1

tgx = 3

összefüggésekből adódnak

DeeDee

***********