Geometria. Te boldogulsz vele?

Egy speciális esetben tudtam eddig megoldani; legyen a négyszög egy derékszögű trapéz, ekkor a kör átmérője megegyezik az AB oldallal. Az érintőshakaszok tétele alapján a BC olda hossza 9+16=27 cm hosszú lesz.

Állítsunk merőlegest a 16 cm-es oldara a 9 cm-es oldal csúcsából, ekkor a trapézban keletkezik egy derékszögű háromszög, melynek két befogója 2r és 7 cm, átfogója 25 cm. Itt Pitagorasz tételét felírva r=12-t kapunk eredményül, ennek kétszerese az AB oldal, tehát az AB ebben a speciális esetben 24 cm hosszú lesz.

Az általános esetben megakadtam.

[link]

Az ábra alapján BC = a = 16, AD = b = 9, OA = OB = c/2. A feladat c értékére kérdez rá. A megoldás során a célunk az, hogy a DCT derékszögű háromszög oldalait kifejezzük a, b, c, α függyvényében, hogy felírhassuk rá a Pitagorasz-tételt. Ehhez vegyük észre, hogy AG = BE = (c/2)sinα, CE = CF = a-(c/2)sinα, DG = DF = b-(c/2)sinα. Így CT = (a-b)cosα, DT = c-(a+b)sinα, DC = (a+b)-csinα.

[c-(a+b)sinα]² + [(a-b)cosα]² = [(a+b)-csinα]²

Rendezve és közben felhasználva a cos²α = 1- sin²α összefüggést az α-k csodák csodájára eltüntethetők, marad az, hogy c² = 4ab, amiből c = 24.

"Ehhez vegyük észre, hogy AG = BE"

Mi garantálja azt, hogy ezek a szakaszok ugyanolyan hosszúak?

Valamint hogy az O-nál lévő két hegyesszög ugyanakkora?

Vagy te is egy speciális esetet vizsgáltál?