1.Mekkora a szabályos hétszög oldala,ha a területe 241,5 cm? 2.Egy szabályos tizenkétszög területe 618 négyzet cm.Mekkora az oldala?

A szabályos sokszöges feladatoknál mindig az az alapvető gondolatmenet, hogy a szabályos sokszög középpontját összekötjük a csúcsokkal, ezáltal felbontjuk azt egybevágó háromszögekre, amik -mivel egybevágóak- azonos területűek.

1) Bontsuk fel a szabályos hétszöget a fent leírt módon, ekkor 7 darab egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelyek egybevágóak. Mivel "középen" a szögek egy teljes kört, vagyis 360°-ot adnak ki, ezért 1 szög nagysága 360°/7=~51,43°-os lesz.

A legegyszerűbb megoldás innen az, hogy a háromszög szinuszos területképletét használjuk: T=a*b*sin(γ)/2. Mivel a hétszöget 7 egyenlő területű háromszögre bontottuk, ezért 1 háromszög területe 241,5/7 = 34,5 cm^2. És mivel egyenlő szárú háromszögünk van, ezért az 51,43°-os szöget bezáró két oldal megegyezik, ezek legyenek x. Behelyettesítés után ezt kapjuk:

34,5 = x*x*sin(51,43°)/2, ezt megoldva x=~9,4 cm (remélem, hogy az egyenlet levezetése nem okoz gondot).

Tehát az egyenlő szárú háromszög szárai 9,4 cm hosszúak. Most ennek a harmadik oldala kell nekünk, ami egyben a sokszög oldala is. Itt is több lehetőségünk van, de a koszinusztétellel is számolhatunk; ha a harmadik oldalt a-val jelöljük, akkor a koszinusztételbe behelyettesítve:

a^2 = 9,4^2 + 9,4^2 - 2*9,4*9,4*cos(51,43°), erre

a =~ 8,16, tehát a sokszög oldala 8,16 cm hosszúak.

De lehetnek más megoldási útvonalak is.

2) Ugyanezeket a lépéseket kell végigcsinálnod.