Hogy lehet megoldani?

Kezdjük a másodikkal.

Szimmetriaokok miatt elég, ha csak a negyedével foglalkozunk.

Ha a negyed részt nézzük, akkor látunk két darab negyedkört, ezek területe 0,5^2*pi/4, hogyha a négyzet oldalait 1-nek vesszük. Az ezt határoló négyzet területe így 0,5^2 = 0,25 lesz.

Adjuk össze a negyedkörök területeit: 0,5^2*pi/4 + 0,5^2*pi/4 = 0,0625*pi + 0,0625*pi = 0,125*pi. Ebben az összegben a közös rész területe kétszer szerepel, a 0,25 területű négyzet többi része pedig 1-szer, így a ebből levonjuk a négyzet területét, megkapjuk a középső rész területét: 0,125*pi-0,25 területegység lesz a pontos területe a zöld résznek a négyzet negyedében. Értelemszerűen itt szorzunk 4-gyel a teljes területhez, így 4*(0,125*pi-0,25) = 0,5*pi-1 területegység lesz a zöld rész nagysága.

Most térjünk át a másik ábrára. A kék rész területe ugyanakkora, mint a másikon a zöld részé, vagyis 0,125*pi-0,25 lesz.

Az ábrán látunk két félkört, melyek átmérője a négyzet egy-egy oldala, ezek területe 0,5^2*pi/2 = 0,125*pi nagyságú lesz. Ha ebből levonjuk a kék rész területét, akkor a "sárga alatti" zöld részek területeit kapjuk, így ezek területe külön-külön 0,125*pi-(0,125*pi-0,25) = 0,25.

Tehát a "sárga alatti" részek összterülete: 0,25 + 0,25 + (0,125*pi-0,25) = 0,25+0,125*pi.

Látunk egy negyedkört, melynek sugara 1, így területe 1^2*pi/4 = 0,25pi. Ebből ha levonjuk a "sárga alatti" részeket, akkor a sárga területét kapjuk: 0,25pi-(0,25+0,125*pi) = 0,125*pi - 0,25. Mivel a kék rész területe is pont ekkora volt, ezért a kék és sárga részek területe megegyezik.

Más módon, de nekem is annyi jött ki, mint 2-esnek.

1.

Húzd be a négyzet átlóját a bal felső pontjából a jobb alsó pontjába. Ekkor az átlótól jobbra keletkezik két körszelet. Egy ilyen körszelet területét megkapod, ha a negyed kör területéből kivonod annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelynek két befogója a négyzet oldalának a fele, átfogója pedig a négyzet átlójának a fele. A négyzet oldalának a felét jelöljük r-el.

A negyed kör területe: r²·π/4

A háromszög területe: r²/2

A körszelet területe: r²·π/4−r²/2=r²/2(π/2−1)

Két ilyen körszelet van, ezek területe: r²(π/2−1)

Ez egyébként éppen egyenlő a kék alakzat területével.

A négyzet területének fele: (2r)²/2=2r²

a) Az előző kettőt adjuk össze: r²(π/2−1)+2r²=r²(π/2−1+2)=r²(π/2+1)

A négyzet jobb felső sarkában levő zöld terület a négyzet területéből levonva a 2r sugarú kör területének negyedrésze:

b) 4r²−4r²π/4=4r²−r²π=r²(4−π)

A sárga alakzat területe a négyzet területéből levonva az a) és a b) terület:

4r²−r²(π/2+1)−r²(4−π)=r²(4−π/2−1−4+π)=r²(π/2−1)

Ez pedig egyenlő a kék területtel.

2.

A négyzet oldalának a felét jelöljük r-el. Húzd be a négyzet átlóját. Nézd például a baloldali levél formát. A négyzet átlója ezt két körszeletre osztja. Egy körszelet területét megkapod, ha a negyed kör területéből kivonod annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelynek két befogója a négyzet oldalának a fele, átfogója pedig a négyzet átlójának a fele.

A negyed kör területe: r²·π/4

A háromszög területe: r²/2

A körszelet területe: r²·π/4−r²/2=r²/2(π/2−1)

A levélforma két ilyen körszelet területének összege: r²(π/2−1)

Összesen négy levélforma van, ezek területe: 4r²(π/2−1)

A teljes négyzet területe: (2r)²=4r²

Az előző kettő hányadosa adja a zöld színű levélformák területét a négyzethez viszonyítva:

[4r²(π/2−1)]/4r²=π/2−1≈0,5708

1)

A négyzet oldalának hossza: 1.

A negyedkör területe: Pi/4.

A félkörök területe: Pi/8.

A félkörök metszetének (kék) területe: t.

A félkörök által lefedett síkrész területe: Pi/4 - t.

A sárga színnel jelölt síkrész területe: Pi/4 - (Pi/4 - t) = t.

2)

Egy levél területe: Pi/8 - 1/4.

(Egy félkör területéből kivonjuk a négyzet területének a negyedét.)

A négy levél területe: Pi/2 - 1.