A valós számokhoz (R) milyen számok tartoznak?

2

Az irracionális számok a racionális számok részhalmaza?

Racionális az, amelyik felírható két tetszőleges egész szám hányadosaként. Ha jól rémlik.

#3, olvasd el újra.

A valós számok a legközérthetőbben úgy foghatóak fel, mint azok a számok, amik rajta vannak a számegyenesen (ezért is szokták valós számegyenesnek is hívni). A számegyenesen pedig minden általad ismert szám megtalálható.

3.

Az irracionális számok olyan valós számok, amelyek nem írhatók fel tört alakban, azaz nem lehet őket két egész szám hányadosaként kifejezni. Azonban az összes valós szám, amely nem irracionális, azaz a racionális számok, tört alakban írhatóak fel. Ezért az irracionális számok kizárólag a racionális számok kiegészítőhalmaza a valós számokon belül.

Van bővebb halmaz, de nem ez. :) A valós számok, ahogy leírtad, a racionális számokból és az irracionális számokból állnak, és a kettő között nincs átfedés. Van más felosztás is, elég hasonló, vannak ún. algebrai számok és ún. transzcendens számok. Az algebrai szám olyan valós szám, ami gyöke egy egész együtthatós polinomnak (tehát pl. az -x^8+2x^6+2 egy ilyen egész együtthatós polinom, és a gyökei az -x^8+2x^6+2=0 egyenlet valós megoldásai.) A transzcendens számok pedig nem ilyenek, tehát azok nem gyökei egész együtthatós polinomoknak. A két felosztás között van némi összefüggés: könnyű átgondolni, hogy minden racionális szám algebrai és minden transzcendens szám irracionális (a fordított irányok nem igazak).

Ez a másik felosztás abból a szempontból is érdekes, hogy nagyon sokáig nyitott kérdés volt, hogy van-e egyáltalán transzcendens szám. Nagyon nehezen kiszenvedtek egyet, aztán Georg Cantor munkássága nyomán megtudtuk, hogy bizonyos értelemben majdnem minden valós szám transzcendens, tehát az a fura, ha egy valós szám algebrai. Ezt ő halmazelméleti eszközökkel bizonyította be. Mégis, annak eldöntése, hogy egy szám algebrai-e vagy sem, általában legalább olyan bonyolult, sőt sokkal bonyolultabb, mint annak eldöntése, hogy irracionális-e. Ide még annyit, hogy ugyanabban az értelemben, mint ahogy a transzcendens számok, az is igaz, hogy majdnem minden valós szám irracionális.

A bővebb halmaz, amiről esetleg hallhattál valahol, az a komplex számok halmaza. Arról van szó, hogy középiskolában jól beleverik az emberek fejébe, hogy negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. Ez igaz is, a valós számok között nem. De ha veszem a valós számoknak azt az ún. testbővítését, melyben x^2+1 megoldható, gyökeit pedig i-vel, illetve -i-vel jelölöm, akkor kapok egy ún. másodfokú testbővítést, tehát minden komplex számot meg tudok adni a+b*i alakban, ahol a és b valós számok. Az már egy nagyon nevezetes tétel, az algebra alaptételének nevezik, hogy minden legalább elsőfokú polinomnak van gyöke a komplex számok között. Látszatra ennek semmi gyakorlati haszna, de a valóság az, hogy komplex számok nélkül a modern technológia nem létezhetne.

Ezt a számkört is lehet bővíteni, de nem a fenti értelemben, beszélhetünk még ún. kvaterniókról, amik a+b*i+c*j+d*k alakú számok, ahol i^2=j^2=k^2=-1, i*j*k=-1, de itt már elromlik a szorzás felcserélhetősége. Ennek bár kicsit kevesebb, de még mindig rengeteg gyakorlati alkalmazása van.

Még ezt is lehet eggyel bővíteni, és be lehet vezetni az ún. Cayley-féle számokat, de itt már jószerivel minden elromlik, amit egy "számtól" elvárunk. És ismét egy nagyon nevezetes tétel az, hogy ennél tovább már nem lehet menni, ha tovább bővítjük a számfogalmat, akkor bizonyos értelemben ugyanazokat a struktúrákat kapjuk vissza, amiket eddig leírtam.