Hányféleképpen kaphatunk pontosan két találatot az ötös lottón?

"Ugyan azt az 5 számot 120 féleképpen tudom kiválasztani."

Az a hiba ebben az érvelésben, hogy mivel külön választod ki a két jót és és a három rosszat, ezek nem keverednek. Nem 5! féle sorrend adja ugyanazt a megoldást, hanem csak 2!*3!.

Itt mutatkozik meg gyönyörűen, hogy nem tudják normálisan megtanítani a képletek használatát a kombinatorikában...

A te gondolatmenetedben az a probléma, hogy gyakorlatilag te ezt csinálod, csak mivel nem látod át teljesen a helyzetet, ezért nem működik az, amit szeretnél:

_ _ _ _ _

J J R R R

A J a „jó”, az R a „rossz” számok vonala. Amikor 5!-sal szeretnél osztani, akkor úgy számolsz, mintha a rossz számok is kerülhetnének a jók vonalaira és fordítva, de nyilván ez így nem lesz jó.

Egy másik fontos dolog, amit meg kell említenünk; mivel a feladatban nem számít a sorrend, ezért mi kijelölhetünk egy sorrendet, ami mentén össze szeretnénk szedni az eseteket.

Nézzünk egy másik szemléletet; tegyük fel, hogy az 1;2;3;4;5 számokat jelöltük meg (bármilyen másik számötöst mondhatnék, teljesen mindegy). Bontsuk esetekre:

1. eset: az 1;2 számokat találom el, ezt (85*84*83)/3!-féleképpen tudom megtenni (itt talán nem kell külön magyaráznom a miértet).

2. eset: az 1;3 számokat találom el, nem meglepő módon ez is (85*84*83)/3!-féleképpen történhet meg.

3. eset: az 1;4 számokat találom el, szintén (85*84*83)/3!-nyi lehetőséggel.

Ebben az esetben nem lenne olyan bonyolult az a pár esetet manuálisan összeszedni, ahogy kettes találatunk lehet a lottón. Itt azt érdemesebb észrevenni, hogy a számítás végén a kapott eredményeket összeadnánk, és mivel ugyanazokat a számokat adjuk össze, ezért rövidebben valami*(85*84*83)/3! alakban tudjuk megadni az eredményt. A 'valami' nem más, mint a megkülönböztetett esetek száma, szóval már csak az a kérdés, hogy ők hányan vannak; pont annyian, ahányféle módon az 5 számból ki tudok 2 számot választani úgy, hogy sorrendjük nem számít, ez összesen (5*4)/2!. Tehát végül (5*4)/2! * (85*84*83)/3!-féleképpen lehet kéttalálatosunk a lottón, ami megegyezik a megoldásban szereplő (5*4*85*84*83)/(2!*3!)-sal.

Ha mindenképp ragaszkodsz az 5!-sal való osztáshoz, akkor ahhoz előbb az eseteket úgy kell összeszedned, mintha a sorrend számítana. Most kifejtés nélkül ennek az eredménye: (5 alatt a 2)*5*4*85*84*83, és akkor ez szépen osztható lesz az 5!-sal úgy, hogy az előbbi eredményt megkapjuk.