Derivalt függvény jelentése?

Amikor egy adott számra, például x=1 körül vizsgálod a meredekséget, akkor ahhoz az egy ponthoz kapod meg a meredekség nagyságát.

Hogy ezt ne kelljen minden egyes pontra egyesével megnéznünk (jobbára azért, mert végtelen sokan vannak), bizonyos esetekben tudjuk általánosítani az eljárást, és ezt nevezzük deriválásnak. Tehát az (x^2)=2x azt jelenti, hogy ha meg akarjuk tudni, hogy az x=5-höz tartozó pont érintő egyenesének meredeksége mi, akkor nem kell külön a differenciálhányadost felírnunk, hanem elég csak a 2x-be beírnunk az 5-öt, és az így kapott eredmény lesz a meredekség.

„Mi a különbség cf’(x)=(cf)’(x) és (fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) között?

Az a különbség, hogy a c konstanst (konkrét számot) jelöl, míg a g egy függvényt. Az első esetben a konstans kihozható a deriváltból, a második esetben a g nem. Illetve ha a g egy konstans függvény, akkor kihozható, így az első képlet a másodiknak egy speciális esete (vagyis ha nem tudjuk, hogy a konstans kihozható, és a második képletet használjuk, akkor is ugyanazt a függvényt fogjuk megkapni).