Helyes ez a bizonyítás?

Állítás:

"n alatt k" = "n-1 alatt k" + "n-1 alatt k-1"

Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy van egy n elemű halmazunk, mondjuk: (a1,a2,a3,...an)

Ugye az "n alatt k" azt jelenti, hogy n elemből hány féle képpen tudok k darabot választani, úgy hogy a sorrend nem számít. Azaz azt mondja, hogy van egy n elemű halmazom és annak hány darab k elemű részhalmaza létezik.

Jelöljünk ki az n elemünk közül egy tetszőleges elemet, ez mondjuk legyen az "a4"

Amikor egy elemem ki van jelölve és így akarok n elemből kiválasztani k darabot, akkor 2 féle esetet/részhalmazt tudok megkülönböztetni.

1. eset:

Vegyük azt amikor a kiválasztott k elem között nem szerepel az "a4" kijelölt elem.

Ekkor mivel nem fog szerepelni az "a4", így n-1 közül kell választanom, mert nem akarom, hogy "a4" szerepeljen. És ugye k darabot kell választani, ez "n-1 alatt k" lehetőséget jelent, ezek azok amikor a kijelölt elem nem szerepel a k darab kiválasztott között.

2. eset:

Amikor a kiválasztott k elem között szerepel az "a4" kijelölt elem.

Ekkor mivel biztos, hogy szerepelni fog az "a4", így az n közül 1 elem már ki van választva, ezért már csak n-1 elem közül választhatok. És ugye k darabot kell választani, de az "a4"-et lerögzítettem, hogy azt biztos választom, ezért a választható k darab közül 1 már megvan, így csak k-1 darabot kell választanom.

Azaz erre "n-1 alatt k-1" lehetőség van, ennyi olyan eset van ami a kijelölt elemet tartalmazza.

Az összes eset pedig ennek a 2-nek az összege, azaz amikor n-ből kell k-t választani az tehát "n-1 alatt k" + "n-1 alatt k-1".

Szerintetek ez így jó?