Hogyan kell megoldani ezt a 8.osztalyos matek versenyfeladatot?

"Mókus Peti makkot gyűjt télire."

Legyen neki x darab.

"Első gyűjtése után azt veszi észre, hogy a makkok harmada kukacos, igy azokat kidobja."

Vagyis ezen a ponton van neki (2/3)x makkja.

"A maradéknak viszont a felét hamar meg is eszi..."

Marad x/3

"...így újra elmegy gyűjteni, ezáltal megnégyszerezi a készletét"

Tehát lesz neki (4/3)x

"Később elajándékozza a makkjainak részét"

Mekkora részét? Ezt nem írta a feladat? Legyen az elajándékozott makkok száma y. Akkor marad neki (4/3)x - y makkja.

"...majd megeszik 15 makkot..."

Ott tartunk, hogy (4/3)x - y - 15 makk marad.

"...így végül 30-cal kevesebb makkja marad, mint amennyit először gyűjtött."

Szóval (4/3)x - y - 15 = x - 30.

y ismerete nélkül csak annyit tudunk mondani, hogy:

x = 3y - 45

"Később elajándékozza a makkjainak ..... részét, majd megeszik 15 makkot"

Itt nem hagytál ki valami adatot?

3-as vagyok:

a képlet igazából: x*(2/3)*(1/2)*4*(1-y)-15 = x-30 (A zárójel nem szükséges az első kettőnél, csak a törteket jelöltem így, hogy (2/3) meg (1/2))

amilyen infó kimaradt a kipontozott résznél azt írd az y helyére.

Első tippre ott szerintem vagy harmad vagy kétharmad állhat.

ha 1/3, akkor 135 az eredmény

ha 2/3, akkor 27 az eredmény

más részekkel már negatív vagy nem egész szám jönne ki, ezért ezeket tartom a legvalószínűbbnek.

x*(2/3)*(1/2)*4*(1-y)-15 = x-30

x*(4/3)*(1-y)-15 = x-30

(1/2)*(x*(8/3)*(1-y)-30) = x-30

Innen:

x = (8/3)*x*y

y = 3/8

Behelyettesítve:

x*(2/3)*(1/2)*4*(5/8)-15 = x-30

x*(5/6) = x-15

(1/6)*x = 15

x = 90

Valamit elrontottam az "Innen" körül, de nem jövök rá, mit. A 90 viszont jónak tűnik.

90 -> 60 -> 30 -> 120 -> 75 -> 60, ez 30-cal kevesebb, mint az elején.

Viszont a 135 és 1/3 is jó:

135 -> 90 -> 45 -> 180 -> 120 -> 105

Az y az legyen az, hányad részét ajándékozta el a makkoknak, így 0<y<1. Egyelőre ennyi.

Bontsuk rész állításokra a feladatot.

- "Hány makkot gyűjtött először?" -> n

- "Első gyüjtése után azt veszi észre, hogy a makkok harmada kukacos, igy azokat kidobja." -> n osztható 3-mal -> n/3=m -> m az eredeti mogyorók harmada -> 3m-m=2m

- "A maradéknak viszont a felét hamar meg is eszi" -> m

- "újra elmegy gyüjteni, ezáltal megnégyszerezi a készletét" -> 4m

- "Később elajándékozza a makkjainak részét" -> y részt hagy meg -> 0<y<1 -> 4ym

- "majd megeszik 15 makkot" -> 4ym-15

- így végül 30-cal kevesebb makkja marad, mint amennyit először gyűjtött -> 4ym-15 = 3m-30

4ym = 3m-15

(3-4y)m=15

15 osztókra bontásának lehetséges esetei:

3-4y=1 -> y=1/2; m=15 -> n=45

3-4y=3 -> y=0 -> rossz megoldás

3-4y=5 -> y=-1/2 -> rossz megoldás

3-4y=15 -> y=-3 -> rossz megoldás

Tehát eredetileg 45 makkja volt és a felét ajándékozta el.

5-ös: Azt rontottad el, hogy felteszem te 30-cal szerettél volna egyszerűsíteni, viszont hiába, mert az 1/2-el így is úgy is szorozva van a 30 a zárójelen belül, szóval itt ezt nem teheted meg.

(1/2)*(x*(8/3)*(1-y)-30) = x-30

Ha ezt tovább bontod ez lenne:

(1/2)*(x*(8/3)*(1-y))-30/2 = x-30

Így ennek a lépésnek nem volt értelme, mivel ugyanúgy 15 lesz belőle.

7-es:

A 135 is helyes ha az egyharmadát ajándékozta el. Én eleve úgy látom, hogy hiányos a feladat és ha ....... részét ajándékozta el akkor nem valószínű, hogy 1/2 lesz mivel az, hogy *fele* részét, fogalmazás szempontjából nem lenne helyes. De természetesen matematikailag jó a megoldásod.

A Berzsenyin nem feltétlenül kell minden nyolcadikos számára megoldható feladatra gondolni, vagyis nem biztos, hogy egy megoldás van.

Ha n az először gyűjtött makkok száma, akkor tudjuk, hogy:

n osztható 3-mal

n > 30

A másodjára gyűjtött makkok pedig:

n*(2/3)*(1/2)*4 = (4/3)*n

(4/3)*n >= n+15 --> (4/3)*n > 45

n > 33,75

Vagyis a megoldás azon számok halmaza, amelyek oszthatóak 3-mal, és nagyobbak 33,75-nél.

A legkisebb ilyen a 36.

A második gyűjtés: 36*(2/3)*(1/2)*4=48

Végül: 48*(7/16)-15=6 --> 36-6=30

Egy sokkal nagyobb számra: 90324

A második gyűjtés: 90324*(2/3)*(1/2)*4=120432

Végül: 120432*(90309/120432)-15=90294 --> 90324-90294=30

Hogy adott n-hez pontosan milyen arányban tartja meg, illetve ajándékozza el a makkjait, azt is ki lehet számolni, de az már nem a feladat része.

Megint elrontottam, az a feltétel, hogy n>=30, nem az, hogy n>30, hiszen 15 makkot meg tud enni, és akkor marad 0, annál 30-cal több a 30, és nem is kell tovább gondolni, 30-ra is jó.

Először: 30

Másodszor: 30*(2/3)*(1/2)*4=40

Végül: 40*(15/40)-15=0

A megmaradt rész aránya pedig (15+(n-30))/((4/3)*n).

Vagyis n=30, 33, 36, 39 ... számokra ez az arány 15/40, 18/44, 21/48, 24/52...