Hogyan kell megadni az ellipszis érintőinek az egyenletét?

Egy lehetséges megoldás: elipszis esetén igaz, hogy egy egyenes 0;1;2 pontban metszheti az elipszist, és ha 1 pontban metszi, akkor az biztosan érintő lesz.

Tehát megteheted azt, hogy az egyenes egyenletét paraméterrel látod el, majd azt az elipszis egyenletével egy egyenletrendszerbe teszed, majd megnézed, hogy annak milyen paraméterre lesz pontosan egy megoldása. Ha ez megvan, akkor megvan az érintők egyenlete is.

„Pont ez az, hogy nincs meg az egyenes egyenlete”

Na ne mondd...

„Az elipszis egyenlete adott, meg egy külső pont.”

Ha adott egy pont, azon végtelen sok egyenes húzható, de nem az összes egyenes halad át rajta. A (majdnem) összes, adott ponton áthaladó egyenes egyenletét fel tudod írni, csak egy paraméterrel kell ellátnod az egyenletet. Például az origón áthaladó „összes” egyenes felírható y=mx alakban, ahol m a paraméter. Egy egyenes van, amit nem tudsz így felírni, az pedig a „függőleges” (y-tengellyel párhuzamos) egyenes, viszont arról tudod, hogy felírható x=0 alakban, és erre külön megnézed, hogy érintője-e az elipszisnek.

Na, megoldottad?

Az egyenes egyenlete legyen y=mx+c. Behelyettesíted a pont koordinátáit és kiejted c-t. A kapott y(m,x) függvényt beírod az ellipszis egyenletébe.

A megoldásai az egyenes és az ellipszis közös pontjai lesznek. x-re másodfokú lesz. Az egyenes akkor érintő, ha a másodfokú megoldóképlet diszkriminánsa 0. Ez alapján meghatározható m.

Teljes levezetés:

Legyen az elipszis: x^2/36 + y^2/9 = 1

A külső pont: (12;3)

Azért, hogy egyszerűbb legyen a deriválás írjuk át egy kicsit az elipszis egyenletét: x^2+4y^2=36

d/dx(x^2+4y^2) = d/dx(36)

2x + 8y dy/dx = 0

dy/dx = -x/4y

delta(y) / delta(x) = (y-3) / (x-12) (12;3) a külső pontok

Van két egyenletünk most

első : x^2/36 + y^2/9 = 1

második : -x / (4y) = (y-3) / (x-12)

Egyenlet rendszert wolframalfával oldottam meg:

[link]

Megoldások:

x1 = 0; y1 = 3

x2 = 4,8; y2 = -1,8

Az egyik egyenlet:

y = 3

A másik egyenlet egy kicsit bonyolultabb:

dy/dx az adott pontban (4,8;-1,8) = -(4,8)/(4 * (-1,8)) = 2/3

Tehát az egyenlet: y = 2/3 * (x-4,8) - 4,8

Egyszerűsítve: y = 2/3*x - 8

Remélem jól számoltam végig.