Matekban segítség?

x(x^2-1)(x+2)=-1

Középső tagban azonosság: a^2-b^2

x(x-1)(x+1)(x+2)=-1

Második és negyedik tag összeszorzása:x^2+x-2, ezt keressük pont

x(x+1)(x^2+x-2)=-1

Három szám szorzata -1, ez akkor lehetséges, ha a három szám közül az egyik -1, másik kettő 1, vagy ha mind a három -1

x^2+x-2=1, vagy -1

Mind a két esetben a 2022. hatványának értéke 1 (mivel páros a kitevő), tehát (x^2+x-2)^2022=1.

"Három szám szorzata -1, ez akkor lehetséges, ha a három szám közül az egyik -1, másik kettő 1, vagy ha mind a három -1"

Ez sajnos nem igaz, mert például a -6*(1/3)*(1/2) értéke is (-1), de számtalan ellenpéldát lehet hozni.

Persze ha az egyenletet az egész számok halmazán vizsgáljuk, akkor igazad van. Illetve mégsem, mert az x*(x+1) esetén szemmel láthatóan két egymást követő (egész) számunk van, azoknál pedig nem működik, hogy az egyik 1, a másik (-1).

De a feladat feltehetően a valós számok halmazán vizsgálódik, így ennyi nem is lenne elég az indokláshoz.

A #3-as válaszban azért jött ki a 3^2022 eredménynek, mert elütöttem egy előjelet... A végeredmény valóban 1 lesz, de nem azért, amit írtál; ha máshogyan átalakítjuk az egyenletet, akkor ezt kapjuk:

(x^2+x-1)^2 = 0

Ennek pedig csak akkor lehet eredménye, hogyha x^2+x-1=0. Diszkriminánsvizsgálattal látjuk, hogy van megoldása; D=5, tehát két valós megoldása is van.

Ha x^2+x-1 = 0, akkor x^2+x-2 = -1, innen pedig (x^2+x-2)^2022 = (-1)^2022 = 1.

Sokat gondolkoztam, hogy hogyan lehetne ezt szépen levezetni, és véletlenül sikerült is egyet találnom, azonban itt van egy speciális lépés, ami annyira nem közismert, viszont érdemes észben tartani a gondolatmenetét a későbbiekre;

Bontsuk ki a zárójeleket és rendezzük az egyenletet:

x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0

Létezik az úgynevezett szimmetrikus negyedfokú egyenlet, amire van egy speciális megoldási lehetőség. A szimmetrikus negyedfokú egyenlet olyan, hogy a tagok együtthatóinak fokszáma szerinti sorrendjében szimmetrikusan állnak. Például a 3x^4-8x^2+10x-8x+3 kifejezésben a 3;-8;10;-8;3 számok szimmetrikusan állnak "középre nézve". Sajnos a jelen feladatunkban nem erről van szó, mivel az 1;2;-1;-2;1 számoknál a 2 és a (-2) nincsenek párban, de szerencsére a megoldási mód működni fog itt is.

Az első lépés az, hogy osztunk x^2-tel (x nem lehet 0, tehát nyugodtan lehet osztani vele):.

x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2 = 0

Most rendezzük így az egyenletet:

(x^2 + 1/x^2) + 2*(x - 1/x) -1 = 0

Most még egyelőre talán nem látszik, de ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet lesz. A következőt tesszük; legyen x-1/x=k, tehát majd az x-1/x helyére k-t fogunk írni. Viszont ez a definíciós egyenlet alakítható úgy, hogy az x^2 + 1/x^2 is megjelenjen benne; emeljünk benne négyzetre (nagyon fontos, hogy NEM TAGONKÉNT emelünk négyzetre, hanem az (a-b)^2 = a^2- 2ab + b^2 képlet szerint):

x^2 - 2 + 1/x^2 = k^2, itt pedig egy egyszerű +2 után:

x^2 + 1/x^2 = k^2 + 2, tehát az x^2 + 1/x^2 lecserélhető k^2+2-re, így ezt kapjuk:

k^2 + 2 + 2*k - 1 = 0, vagyis

k^2 + 2k + 1 = 0, és ennek egyetlen megoldása a k=-1. Most írjuk vissza k helyére az eredetit:

x - 1/x = -1, szorzunk x-szel:

x^2 - 1 = -x, hozzáadunk x-et:

x^2 + x - 1 = 0, mit ad isten, hogyha kivonunk 1-et, akkor pont a kérdéses kifejezés értékét kapjuk:

x^2 + x - 2 = -1 (feltéve, hogy ennek az egyenletnek egyébként van valós megoldása, de azt már megbeszéltük korábban, hogy van neki 2 is).

Innen pedig egyszerű továbblépni; (x^2+x-2)^2022 = (-1)^2022 = 1.