Matematika feladatban segítség?

1+(2(n-0)+1)=2n+2

3+(2(n-1)+1)=2n+2

5+(2(n-2)+1)=2n+2

...

Hasonlóan ahogy az első n db szám összegképletét belátjuk.

Ha az összeget kétszer, egymás alatti sorban írod fel, de ellentétesen, akkor a párba állított tagok mindig azonos az összege (2n+2), ahogy fent írtam.

n esetén n+1 tagja van az összegnek,mert n=0-ról indulunk.

Tehát kétszer felírva minden tagot (n+1)(2n+2) lesz sz összeg, aminek a felét kell venni: (n+1)(n+1)=(n+1)^2

(n+1)^2 = 2^2022 + 2023

Összeadjuk sorban a páratlan számokat. Ha az elsőt (az 1-et) a nulladik páratlan számként értelmezzük, akkor az egyenlet bal oldala valóban (n+1)^2 lesz. (Pl. 1, 3, 5, 7, 9 esetén 1+9 = 3+7 = 2n+2, és n+1 számunk van, mert 0-tól kezdtünk számolni).

A kérdés most az, hogy van-e olyan négyzetszám, ami 2^2022 + 2023 alakú. Ilyen pedig nincs. Miért? Mert 2^2022 osztható 4-gyel, 2023 pedig 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Vagyis 2^2022 + 2023 is 3-at ad maradékul 4-gyel osztva. A négyzetszámok ilyet nem tudnak.

Az eredeti feladat ugye ez volt:

1 + 3 + 5 + ... = 2^2022 + 2023

Azt csináltuk, hogy beszámoztuk sorban a páratlan számokat. Az 1 volt a nulladik, a 3 az első, az 5 a második, és így sorban. Megmutattuk, hogy ebben a sorban egy-egy páratlan szám átlagosan n+1 lesz, és összesen n+1 számunk van. Magyarul ha a páratlan számokat - teljesen mindegy, hogy meddig, a lényeg az, hogy SORBAN - összeadod, mindig négyzetszámot kapsz. Ez fontos.

Pl.

1 önmagában négyzetszám, mert 1 = 1^1

1 + 3 = 4 = 2^2

1 + 3 + 5 = 9 = 3^3

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^4

Akármeddig adod össze sorban a páratlan számokat, négyzetszám jön ki. Na most a feladat azt kérdezi, létezik-e olyan n, amire igaz, hogy ha 2n+1-ig adod össze a páratlan számokat, az 2^2022 + 2023 lesz. Tudjuk, hogy bármilyen n-re a páratlan számok összege négyzetszám. Magyarul a kérdés az, hogy létezik-e olyan négyzetszám, amelyre igaz, hogy egyenlő 2^2022 + 2023-mal.

Ilyen pedig nincs. Egy szám 4-gyel osztva 4 féle maradékot tud adni: 0, 1, 2, vagy 3. Több lehetőség nincs. Ha most ezt a számot négyzetre emeled, mi történik a maradékokkal? Ami alapból 0-t adott maradékként, az négyzetesen is 0-t ad. Amenyik 1-et adott, továbbra is 1-et ad négyzetre emelve. Ami 2-t adott, az négyzetesen 0-t ad, és amelyik 3-at, az négyzetre emelve 1-et. Nincs olyan négyzetszám, ami (úgy, mint a 2^2022 + 2023) 3-at adna maradékul 4-gyel osztva. Így aztán addig adhatod össze sorban a páratlan számokat, ameddig akarod, megfelelő n-t nem fogsz találni.

Kérdező, hátha így megérted;

A 18. század vége felé élt egy Gauss nevezetű ember, akit később a matematika hercegének neveztek el, mert annyi mindent csinál a matematikában. Már tizenévesen rájött egy olyan számításra, amit előtte nem ismert senki.

Az anekdota szerint azt kapták feladatul az "osztálytársaival", hogy adják össze a számokat 1-től 100-ig. Míg mindenki egyesével összeadogatta, Gauss pár percen belül megadta a választ. Rájött arra ugyanis, hogyha nem egymás után, hanem "kívülről befelé" adja össze a számokat, akkor mindig ugyanazt az eredményt kapja;

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

.

.

.

50 + 51 = 101

Ha ezeket a 101-eket összeadjuk, akkor megkapjuk a kérdéses összeget. Mivel 100 darab számból 50 darab összeget tudunk képezni, ezért 50 darab 101-et kaptunk eredményül, tehát az eredmény: 101+101+101+...+101 = 50*101 = 5050.

Később rájöttek, hogy ez a gondolatmenet bizonyos speciális összegeknél is működik; azokat a számsorozatokat, amik ilyen összegeket adnak, számtani sorozatnak nevezték el. A számtani sorozat különlegessége, hogy a tagok mindig ugyanannyival követik egymást (mint amikor az IQ-tesztben rájössz, hogy a 3;11;19;27; ... sorozatban a következő tag a 35 lesz, mert 8-at mindig hozzá kell adni a tagokhoz).

A te összeged is ilyen, mivel a tagok kettesével követik egymást.

Ha a fenti eljárást általánosan megoldanánk, akkor egy képletet kapnánk eredményül, és ezt a képletet nevezzük a számtani sorozat összegképletének:

S(n) = ( (a(1) + a(n) ) * n /2, ahol S(n) az n darab szám összege, a(1) az összeg első tagja a(n) az n-edik (utolsó) tagja, n pedig maga a darabszám. Ha ebbe a képletbe behelyettesítünk, ezt kapjuk:

S(n) = ( 1 + 2n+1 ) * (n+1) / 2

Itt egy kicsit bajban vagyok, mert nem tudom, hogy tényleg-e a feladat, vagy te írtad-e el. Ugyanis ha az összegben n helyére 1-et írunk, akkor utolsó tag 2*1+1=3 lesz, viszont ha az n=1, akkor 1-et kellene kapnunk az első tagra, így viszont n=1-re nem az 1-et kapjuk, hanem az 1+3-at. Emiatt a számok száma nem n darab, hanem (n+1), és az összegképletbe való behelyettesítés után az n helyére (n+1)-et kell írnunk, mert annyi a darabszám, és a korábbi hozzászólók is ezt kapták.

Ha itt elvégezzük a műveleteket, akkor ugyanúgy az (n+1)^2-et kapjuk, amit korábban is kaptak, így tehát csak annyi a kérdés, hogy a 2^2022+2023 négyzetszám-e. Ennél a feladatnál máshogyan is meg tudjuk állapítani azt, hogy nincs ilyen n szám; ha van egy kis szerencsénk, akkor a szám olyan számra végződik, amilyenre négyzetszám nem végződhet; ha megnézzük, akkor a négyzetszámok a 0;1;4;5;6;9 számok valamelyikére végződik. A 2^2022 esetén nézzük meg, hogy a kisebb hatványok utolsó számjegye hogyan végződik;

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

2^4 = 16, ez 6-osra végződik

2^5 = 32, ez 2-esre végződik

Mivel mindig 2-vel szorzunk, és 2*2=4, emiatt már a végződések ismétlődni fognak. Azt látjuk, hogy egy úgynevezett 4-es ciklusban fogják egymást a számok követni, tehát ha a kivető 4-gyel osztható (pozitív egész), akkor az utolsó számjegy 6 lesz. Emiatt a 2^2020 utolsó számjegye biztosan 6 lesz, a 2^2022-höz még kétszer meg kell szoroznunk 2-vel, így a fenti sorrend szerint a 6-ból 2 lesz, a 2-ből pedig 4, tehát a 2^2022 utolsó számjegye 4 lesz. Ha ehhez a számhoz hozzáadunk 2023-at, akkor csak az utolsó számjegyek összegét kell néznünk, ami a 7 lesz, 7-re viszont nem végződik soha négyzetszám, tehát a fenti összeg nem lehet egyenlő 2^2022+2023-val.

Ha a feladatot elírtad, és az utolsó tag (2n-1), akkor összegképlet alapján ezt kapjuk:

( 1 + (2n-1) ) * n / 2 = ... = n^2, szintén egy négyzetszámot keresünk, tehát még mindig nincs megoldás. (egyébként ismert tény, hogy ha 1-től összeadjuk a páratlan számokat, mindig négyzetszámot kapunk eredményül, sőt, az ÖSSZES négyzetszám szerepel ebben a sorozatban (kivéve a 0-t, de bizonyos tekintetben az is szerepel)).