Adott két pont a síkban, nevezzük őket kezdő és végpontnak. Hogy számolom ki azt a harmadik pontot, amelyik a két pont által meghatározott szakaszon fekszik, és megadott távolságra található a kezdőponttól?

Pontosan azért, mert a "matek házikat rég kinőtt" kérdező a kérdéses wikipédia cikk öt perces tanulmányozása helyett ide loginezett, és perceket töltött egy banális iskolai matekpélda kiírásával a "Természettudományok" rovatba.

Miért támogassam popsinyaló módon az ilyen szellemileg renyhe hozzáállást? A 2-es válaszom egyben egy szubliminálisan megfogalmazott üzenetet is kommunikált a kérdező becses személye felé!

Valahol egyet tudok érteni a #12-es válaszolóval, azonban -attól függetlenül, hogy ez valóban egy középiskolás szintű feladat- nem mindenki tudja ezt megoldani, még akkor sem, ha már rég leérettségizett, pláne nem biztos, hogy megtalálja a neten az ehhez releváns tudást, és nyilván sokkal egyszerűbb megkérdezni hozzáértőktől.

Az alapvető megoldási módot egyébként már megadták; kiszámolod a szakasz hosszát, aztán a két vektor által meghatározott vektort (érdemesebb a kérdéses pontból induló vektort felírni), ezt a vektort elosztod a szakasz hosszával (a koordinátákat külön-külön), ekkor megkapod az egységnyi hosszú vektor hosszát, ezt szorzod a szükséges távolsággal (szintén koordinátánként szorzol), végül az így kapott vektor koordinátáit hozzáadod a kezdőpont koordinátáihoz, így kapod meg a kérdéses pontot.

Például legyen a két pontunk A(2;3) és B(5;-1), és az a kérdés, hogy melyik pont van 2 egység távolságra az A ponttól az AB szakaszon.

Először számoljuk ki a két pont által meghatározott szakasz hosszát. Ha ábrázolod a két pontot, majd az A-ból egy "vízszintes" (x-tengellyel párhuzamos), B-ből egy "függőleges" (y-tengellyel párhuzamos) egyenest rajzolsz, akkor kapsz egy derékszögű háromszöget, amelynek befogóinak hosszát le tudod olvasni; a vízszintes hossza 3 egység, a függőlegesé 4 egység hosszú lesz, így Pitagorasz tételével ki tudod számolni az átfogója hosszát, ami 5 egység lesz.

Általánosan; ha a két pont A(a_x;a_y) és B(b_x;b_y), akkor a két pont által meghatározott szakasz hossza (a fenti gondolatmenetet követve):

|AB| = gyök( (b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 )

A képlet olyan esetekben is működik, amikor egyébként nem kapnánk derékszög háromszöget (illetve elfajult derékszögű háromszög lenne).

Ha ez megvan, akkor számoljuk ki az AB vektort. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy hogy az A pontból "hány lépést" kell vízszintesen és függőlegesen megtennünk és milyen irányban ahhoz, hogy a B pontba jussunk. Az ábrából jól látszik, hogy 3-at jobbra és 4-et le, tehát AB->=(3;-4), de ez a számítási mód is általánosítható:

AB-> = ( (b_x-a_x) ; (b_y-a_y) ), vagyis egyszerűen csak a két pont koordinátáit kell kivonnunk egymásból (a végpontéból a kezdőpontét).

Szóval van ez a (3;-4) vektorunk, ami 5 hosszú. Ha ezt 5-tel osztanánk, akkor 1 hosszú vektorunk lenne. Tanultuk, hogy ha egy vektor hosszát egy skalárral (számmal) szorzunk/osztunk, akkor annak koordinátáit is külön-külön szorozzuk/osztjuk. Tehát az 5-tel osztás után a (3/5 ; -4/5) vektort kapjuk (a hosszképlettel látható, hogy valóban 1 lett a hossza), majd ezt szorozzuk 2-vel, így a (6/5; -8/5) vektort kapjuk (szintén megnézhető, hogy a hossza 2).

Utolsó lépésként ennek a koordinátáit hozzáadjuk az A ponthoz, ezzel kapva meg azt a pontot, amely 2 egység távolságra van az A ponttól és rajta fekszik az AB szakaszon. A szakaszon fekvést a vektor "állása" garantálja (párhuzamos az eredeti szakasszal), a hosszt pedig újfent lehet ellenőrizni. A lényeg, hogy ebben az esetben a P( 2+(6/5) ; 3+(-8/5 ), vagyis a P( 16/5 ; 7/5 ) pontot fogjuk megkapni.

Van viszont ennél egy picit egyszerűbb megoldás is. Ennek az a neve, hogy osztópont számítása:

[link]

Innen erre a képletre van szükségünk (kicsit más betűkkel írom, koherensen az én jelöléseimhez):

Ha a két pont A(a_x;a_y) és B(b_x;b_y), és ezt a szakaszt m:n arányban szeretnénk osztani az A-tól számolva és ez a pont P(p_x;p_y), akkor a keresett pont két koordinátája:

p_x = (n*a_x + n*b_x)/(n+m) és p_y = (n*a_y + n*b_y)/(n+m)

Esetünkben az AB szakasz hossza 5, és a kérdéses pont 2 egység távolságra kell, hogy legyen az A-tól, így nyilván 5-2=3 egységre lesz B-től, így pedig a keresett pont a szakasz m:n=2:3 arányban osztja. Behelyettesítve a képletbe:

p_x = (3*2 + 2*5)/(3+2) = 16/5

p_y = (3*3 + 2*(-1))/(3+2) = 7/5

Tehát a keresett pont: ( 16/5 ; 7/5 ), amit az előbb is kaptunk.

Ez a képlet is minden esetben működik, csak lehet, hogy rusnya számaink lesznek, szóval az eredményeket adott esetben kerekítjük valahová.