Egy szám összes osztóinak számának meghatározásánál miért kell hozzáadni a kitevőkhöz egyet?

[link]

5. oldal

Feltételezem arra gondolsz, amikor egy számot felbontasz prímtényezőkre, majd az egyes prímtényezőkhöz tartozó kitevőkhöz egyet-egyet hozzáadsz, és összeszorzod őket.

A következő az oka. Egy szám osztói legfeljebb azokat a prímtényezőket tartalmazhatják, és legfeljebb olyan kitevővel, mint a szám maga. Ha össze akarjuk számolni az összes lehetőséget, akkor végigmegyünk a prímtényezőkön, és mindegyiknél a kitevő+1 féleképpen dönthetünk. Egy példa: 45 = 3^2*5

A lehetséges osztóban a 3 vagy nem szerepel, vagy első hatvánnyal szerepel, vagy négyzetesen. Az 5 vagy nem szerepel benne (nulladik hatvány), vagy első hatványon benne lesz az osztóban. Ez összesen 3*2=6 lehetőség. A 45 osztói valóban:

3^0*5^0 = 1

3^1*5^0 = 3

3^2*5^0 = 9

3^0*5^1 = 5

3^1*5^1 = 15

3^2*5^1 = 45