A pétervári játék a következö: egy játékos részvételi díjat fizet a banknak, majd az elsö fejig dobál egy szabályos érmével. Ha a k-adik dobásra jön ki az elsö fej, akkora játékos 2k forintot kap a banktól. Mennyi az igazságos részvételi díj?

Azt kell kiszámolnunk, mennyi az átlagos nyeremény (várható érték).

Érdemesebb nem úgy számolni, hogy mikor dobunk először fejet, hanem n-szer feldobjuk az érmét, és utólag megnézzük, hogy mikor dobtunk először fejet. Ha így számolunk;

-elsőre fejet 2^(n-1)-féleképpen tudunk dobni, ezek után 2 forintot kapunk, tehát 2*2^(n-1)=2^n forintot számolunk meg ebben az esetben

-másodikra fejet 2^(n-2)-féleképpen tudunk dobni, ezek után 4 forintot kapunk, tehát ezek után 4*2(n-2)=2^n forintot kapunk.

-harmadikra fejet 2^(n-3)-féleképpen tudunk dobni, ezek után 6 forintot kapunk, így 6*2^(n-2) forintot tudunk megszámolni.

-általánosan, ha k-szor kell dobnunk az első fejhez, és ezek után 2k forintot kapunk, akkor a teljes összeg, amit ezen játékok után kapunk: 2k*2^(n-k) = k*2^(n-k+1). Ezeket kell összeadnunk, ahol k tart n-ig:

[link]

Az eredmény: -4+2^(2+n)-2n

Tehát ha legfeljebb n dobás engedélyezett, akkor az összes játékból ennyi pénzt tudnánk összeszedni.

A lehetséges játékok száma 2^n, tehát a játékokon átlagosan ennyi pénzt tudunk keresni:

(-4+2^(2+n)-2n)/2^n

Mivel az n nem előre meghatározott, ezért n->végtelen, tehát ennek a kifejezésnek kell a határértékét megadnunk a végtelenben:

[link]

Ami 4 lesz.

Ez azt jelenti, hogy átlagosan 4 forintot tudunk nyerni a játékon, így a "legigazságosabb" részvételi díj 4 forint. Az "igazságos" itt azt jelenti, hogy mindkét félnek ugyanannyi esélye van 0-ra kijönni a játékok végén.

Ha a k-adik dobásra jön ki az elsö fej, akkor előtte k-1 írást dobunk 0,5^(k-1) valószínűséggel. Utána fejet 0,5 valószínűséggel.

A várható nyeremény 2k*0,5^k.

Az események egymást kizáróak, ezért a várható nyeremények összeadódnak. szumma(k*0,5^(k-1)) határértéke a teljes várható nyeremény.

lim(sum(k*0.5^(k-1)))=4 (Szintén wolframalpha.com)