Kamatos kamat háziba segits kerlekk?

Az se sűrűn vett fel hitelt, aki ezt a példát feladta...

Fontos tényezők hiányoznak a feladatból, így ezt nem lehet megoldani. De azért próbáljuk meg;

Általában (a való életben, nem a tanár agyában) hitelt úgy tud felvenni az ember, hogy a bank megmondja, hogy havi vagy évi hány százalékos kamatra, milyen futamidővel tudja a kölcsönt folyósítani, ÉS EBBŐL számolják vissza, hogy mennyi pénzt kell havonta utalni (tehát nem a kölcsönt felvevő dönti el, hogy mennyit van kedve törleszteni...).

Például ha felveszi ezt a 3000000 forintot 5 évre évi 12%-os kamatra, akkor neki 3000000*1,12^5 = 5.287.025,0496 = 5.287.025 forintot kell visszafizetnie 5 év = 60 hónap alatt, tehát ezt osztva 60-nal azt kapjuk, hogy 88118 forintot kell havonta befizetnie. Ehhez az összeghez egyébként jöhetnek egyéb felszámolt költségek is, tehát a havi törlesztőrészlet ennél több lehet. Mivel nem tudjuk, hogy milyen futamidővel vette fel a pénzt, ezért nem tudhatjuk, hogy mennyi lenne a végösszeg, amit törlesztenie kellene, tehát nem tudni, hogy mennyi lesz a tartozása 2 év után. Ráadásul ha az ember egy összegben akarja kifizetni a pénzt, akkor azzal szerződést szeg, tehát kötbért is kell fizetnie, nem csak a fennmaradó tartozását, de ez egy mellékes szál.

Másik lehetőség, amikor az embernek mínuszba megy a számlája, akkor a büntetőkamatot az éppen aktuális egyenleg alapján róják ki, tehát nem mindegy, hogy valakinek 50.000 vagy 2.000.000 forint lesz a tartozása, mert ennek az x%-át fogják kamatként felszámolni. Ha viszont Marci menet közben törleszt, akkor a büntetőkamat időről-időre változni fog. Persze ebben az értelmezésben is megoldható a feladat, de a középszinten eléggé túlmutat ennek megoldása.

Valószínűleg a tanár ezt a megoldást várja (már ha középszintű megoldást vár el):

2 év alatt 3000000*1,12^2 = 3.763.200 forint lesz a visszafizetendő összeg. Ő ebből menet közben visszafizetett 24*40000=960.000 forintot, tehát fennmarad neki 2 803 200 forint, ennyit kell visszafizetnie a feladat alapján a banknak.

A feladat b) része pláne megoldhatatlan az előzőek alapján, ugyanis most vagy az van, hogy az alapból felvett 3.000.000 forint kamatozik kamatos kamattal (függetlenül attól, hogy mennyi lett visszafizetve belőle), vagy a kamatozást a fennmaradó összegből akarja származtatni, ami abszolút logikátlan. Szóval maradjunk az első verziónál;

n év múlva a kamatozott összeg: 3000000 * 1,12^n

n év = 12*n hónap alatt visszafizetett összeg: 40.000 * 12*n = 480.000*n

A kettő különbsége adja a fennmaradó tartozást: 3000000 * 1,12^n - 480.000*n, az a kérdés, hogy ez mikor fog 0 alá menni, tehát:

3000000 * 1,12^n - 480000*n <= 0, adjunk hozzá 480.000*n-et:

3000000 * 1,12^n < 480000*n, osszunk 480000-rel:

6,25 * 1,12^n < n, és ez az egyenlőtlenség nem oldható meg algebrailag. Ezt úgy tudjuk esetleg megoldani (mivel n értéke csak pozitív egész lehet), hogy n helyére beírjuk az egész számokat, egyesével:

n=1: 7 < 1, nem igaz.

n=2: 7,84 < 2, nem igaz

n=3: 8,7808 < 3, nem igaz

n=4: 9,834496 < 4, nem igaz

n=5: 11,01463552 < 5, nem igaz

A jobb oldalról tudjuk, hogy mindig 1-gyel nő, viszont itt már észrevehetjük azt, hogy a bal oldal innetől mindig legalább 1-gyel fog mindig nőni, vagyis a jobb oldal nem fogja tudni utolérni a bal oldalt, tehát ez az egyenlőtlenség soha nem lesz igaz, vagyis Marci soa nem fogja tudni visszafizetni a kölcsönt.