Határozzuk meg azt a legkisebb 1-gyel kezdődő természetes számot, amely olyan tulajdonságú, hogy ha az elejéről kitöröljük az 1est es beírjuk a végére, akkor az így kapott szám az eredetinek háromszorosa lesz.?

Legyen x az 1-es nélküli szám. Így:

10x+1= 3(x + 10^n)

(7x +1)/3 = 10^n

((6+1)x + 1)/3= 10^n

Akkor osztható 3-mal a bal oldal, ha:

x(k)= 3k + 2 alakú

Tehát:

(7(3k+2)+1)/3 = 10^n

(21k +15)/3 = 10^n

7k + 5 = 10^n tehát 10^n maradéka 7-tel 5 legyen.

10/7 maradéka 3.

100/7 maradék mint 3*3/7 maradéka: 2

Maradék-sor:

3,2,6,4,5,1, és újra 3,2,6,...

n=5 + 6m alakú kell legyen a 10 kitevője hogy 7-tel lehessen osztani.

Így:

7k+5 = 10^(5+6m)

k(m)=(10^(5+6m)-5)/7

x(m)= 3k+2 = 3(10^(5+6m)-5)/7 +2 alakú lehet.

!!Az első feltételt még nem írtuk elő ami 10^(n-1)<x<10^n, ezt próbálgatással nézzük meg:!!

x(0)=3(10^5-5)/7+2 = 42857

10^4< 42857 < 10^5 ÉS TELJESÜL. Tehát elsőre jó.

Ell.:

142857

428571/3=142857 PIPA. :)

Bár a próbálgatás helyett belátható általánosan, hogy az utolsó feltétel mindig teljesül. Így x(m) az összes ilyen számot leírja.

Ugyanis 3-mal osztás 0-val vagy 1-el csökkenti a számjegyek számát 10-es számrendszerben. Míg a 10-zel szorzás 1-el növeli.

számjegy(10^n + x)= n + 1

számjegy(x) = y

számjegy(10x+1) = y + 1

számjegy( (10x+1)/3 ) = y + 1 (-1 vagy +0) = n+1

így:

y (-1 vagy +0) = n

Viszont y nem lehet n+1 mikor elvettünk 1 számjegyet..

így y biztos =n tehát a visszamaradt x "nem kezdődik 0-val soha.

Mert az előző maradékból következik a következő maradék, és ha egyszer felbukkan újra egy maradék onnantól ismétlődés következik. Mind8g lesz is ismétlődés bármely osztónál mert véges darab maradék va, egyszer pedig ismétlődnie kell egy végtelen sorban.

Tehát pl.:

10^n =7a + b

akkor:

10^(n+1)= 70a + 10b innen latszik ,hogy csak 10b- től függ a kövi osztási maradék.

De 10b = 7b + 3b

Tehát 3b-től függ a kövi maradék, ahol b az előző.

De ez tök általánosan is igaz bármely osztóra.

Javítás:

x < 10^n feltétel kell teljesüljön csak!

Tehát:

3(10^n-5)/7 +2 < 10^n

3/7 * 10^n -1/7 < 10^n

-4/7 * 10^n -1/7 < 0 PIPA :)

Ne szegje kedved semmi, a matek attól jó, hogy mindenki egyenlő előtte. :)

Ne búslakodj, mert egy gyakoris hozzászólasból nem érted/vagy csak lassan a matekot. Élőben magyarázva könnyebb lenne megérteni, de kérdezz bármikor, szívesen segítek. :)