Összetett függvény deriválásánál mi alapján döntjük el, hogy melyik a belső és melyik a külső függvény ?

Az alapján lehet eldönteni, hogy ha behelyettesítenél x helyére egy számot, és elvégeznéd a műveleteket, akkor amelyik művelet lenne az utolsó, az lesz külső függvény, és műveletenként lehetne befelé haladni. A konkrét példádban egy összegfüggvény van, tehát először szétpontjuk őket, mivel tudjuk, hogy összeg deriválásánál tagonként deriválunk.

Az e^(-x) esetén nincs nagy variációs lehetőség, itt egy hatvány van, tehát a láncszabály szerint ezt fogjuk kapni:

(e^(-x))' = e^(-x) * (-x)', (-x) deriváltja (-1), tehát

= e^(-x) * (-1), vagyis -e^(-x)

A második függvénynél nézzük lépésről lépésre;

-először elvégeznéd a kivonást,

-utána négyzetre emelnél,

-végül osztanál (ha lehetséges, ugye x=-4 esetén ezt nem tudjuk meglépni).

Látható, hogy ez egy kétszeresen összetett függvény, amit a láncszabály szerint szépen ki tudunk hámozni; a külső függvény szerint deriválunk, majd az 1-gyel beljebb lévő belső függvény szerint, és így tovább. Érdemes egyébként mindig kiírni a deriválandó függvényt, hogy jobban át lehessen látni.

Tehát amikor először használjuk a láncszabályt, ezt kapjuk:

-7/x^2 * ((x-4)^2)'

Most a deriváltban egy kivonás és egy hatványozás szerepel, a hatványozás a külső, így aszerint használjuk a láncszabályt:

= -7/x^2 * (2*(x-4)) * (x-4)'

(x-4)' esetén pedig tudjuk, hogy külön-külön deriválunk, az eredmény pedig 1 lesz.

Tehát a deriválás végeredménye: -7/x^2 * (2*(x-4)), ezt esetleg még egy kicsit lehet alakítgatni, ha nagyon szeretnénk.

A második példádban van egy szorzás, egy összeadás és egy hatványozás. Ha a fentieket követjük, ezt kapjuk:

-a hatványozás szerint deriválunk: 2018*(5x+7)^2017 * (5x+7)'

-aztán az összeget deriváljuk tagonként: 2018*(5x+7)^2017 * ((5x)'+7'), így a végeredmény: 2018*(5x+7)^2017 * 5, amit az első válaszoló is írt.