Mit jelent az egyenes arányosság?

Ha az egyiket megduplázod, a másik fele annyi lesz.

Pl 1 munkás 1 óra alatt kiás 1 gödröt.

2 munkás fél óra alatt ás ki egy gödröt.

Az egyenes arányosság az, amit napi szinten használunk bevásárláskor (de gondolom ezt a részét érted).

Az egyenes arányosság két dolgot jelent; az egyik jelentése az, hogy a szorzást/osztást nem kell mindig lépésről lépésre elvégeznünk. Például ha tudjuk, hogy 30 deka párizsi 900 forintba kerül, és azt szeretnénk megtudni, hogy mennyibe kerül 100 deka párizsi, akkor a következőt tudjuk megtenni;

30 deka párizsi = 900 forint /osztunk 30-cal:

10 deka párizsi = 300 forint /szorzunk 10-zel:

100 deka párizsi = 3000 forint

Itt a cél az volt, hogy a 30 deka párizsiból 100 deka párizsit csináljunk, viszont ezt egy lépésben nem tudtuk megtenni úgy, hogy csak egész számokat használtunk, ezért két lépést kellett megtennünk. Ezt a lépést viszont bármikor át tudjuk ugrani, hogyha egyenletet írunk fel; először írjuk fel az aránypárokat, de mivel a 100 dekához tartozó árat nem ismerjük, ezért az legyen x forint:

30 deka párizsi = 900 forint

100 deka párizsi = x forint

Az egyenes arányosság megnevezés azt (is) jelenti, hogy mindkét oldalt lentről felfelé eloszthatjuk egymással, és a hányados ugyanaz marad (ez azért nyilvánvaló, mert a második sort alapvetően szorzással kapjuk meg, tehát a két szám osztásával ezt a szorzószámot kell megkapnunk). Tehát:

100/30 = x/900, és ezt az egyenletet rendezve ugyanúgy megkapjuk az x=3000-et.

Az osztást természetesen a másik irányba is el lehet végezni, x eredménye nem fog változni.

A másik dolog, amire a megnevezés utal: írjuk fel az összetartozó értékpárokat egyesével; most mondjuk azt, hogy 1 cukorka a boltban 50 forintba kerül:

1 cukorka: 50 forint

2 cukorka: 100 forint

3 cukorka: 150 forint

4 cukorka: 200 forint

stb.

Illetve még az elejére hozzávehetjük a "0 cukorka: 0 forint"-ot is.

Ha ezeket ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben, akkor a pontok egy olyan egyenesen fognak állni, amely áthalad a koordináta-rendszer origóján (ami pont a 0 cukorka: 0 forint). Mivel csak egész számú cukorka vehető, ezért ezek úgynevezett diszkrét pontok, ezek a teljes egyenest nem adják ki. De ha azt mondom, hogy 1 kiló cukorka 800 forintba kerül, a boltban pedig bármennyi kiló cukorka vásárolható, akkor ennek ábrázolásával már ténylegesen a teljes egyenest fel kell rajzolnunk.

Bizonyos esetekben a negatív térfélre is átkerülhet az egyenes, illetve a vízszintes, az origón áthaladó egyenes is egyenes arányosságot jelent (1 napig nem dolgozol, 0 forintot keresel, 2 napig nem dolgozol, 0 forintot keresel, stb., bár ennél a fent leírt osztásos metódus nem nagyon tud működni).

A fordított arányosság onnan kapta a nevét, hogy a fent említett osztást az egyik oldalon fordítva kell elvégeznünk, hogy az eredményt megkapjuk. Itt rendszerint valamilyen munkásos példát szoktak felhozni, de én hoznék egy boltos példát; egy boltban egy zacskó cukorka 1200 forintba kerül. Egy csoport szeretne megvenni egy zacskónyit, és közösen dobják rá össze a pénzt. Ebben az esetben 1 ember mennyit tesz bele az összegbe?

Nézzük sorban;

1 gyerek (ha egyedül veszi meg) 1200 forintot fizet.

2 gyerek esetén feleződik ez az összeg, tehát 600-600 forintot fizetnek.

3 gyerek esetén harmadolódik, tehát 400-400-400 forintot fizetnek.

4 gyerek esetén a fejenkénti összeg 300 forint lesz.

Stb.

Most nézzük meg a 2 és 3 gyerekes esetet:

2 gyerek: fejenként 600 forint

3 gyerek: fejenként 400 forint

Osszuk el egymással a számokat függőlegesen, de az egyik oldalon fordítva:

Lentről felfelé: 3/2 = 1,5

Fentről lefelé: 600/400 = 1,5

Tehát ha adott, hogy két gyereknek fejenként 600 forintot kell fizetnie, és nem akarunk innen egyesével számolgatni, hogy 3 gyereknek mennyi pénzt kell fejenként költeniük (tehát kiszámoljuk, hogy 1 gyereknek mennyit kellene fizetnie, és onnan lépünk a 3 gyerekre), akkor ezt tudjuk felírni:

2 gyerek: fejenként 600 forint

3 gyerek: fejenként x forint, ekkor:

3/2 = 600/x, egyenletrendezés után x=400 jön ki, vagyis 400 forintot kell fejenként fizetniük a srácoknak.

Ezek az értékpárok is ábrázolhatóak koordináta-rendszerben, ekkor a pontok egy úgynevezett hiperbolára fognak esni. A hiperbola alapfüggvénye az 1/x függvény, ennek valamilyen transzformáltját (azon belül elnyújtottját) fogjuk kapni minden ilyen esetben. Ahogy az egyenes arányosságnál az egyenes kötelezően átmegy a (0;0) ponton, úgy ebben az esetben soha, semmilen körülmények között nem mehet át rajta, de még a koordinátatengelyeken sem (mivel a 0 gyerekhez nem tud pénz tartozni, és (matematikailag) olyan sincs, hogy fejenként 0 forintot kellene fizetniük a cukorka megvásárlásához).

Ebből pedig az a következtetés is leszűrhető, hogy hogyan lehet megkülönböztetni egymástól ezt a két arányosságot; a 0-nál kell mindkettőt vizsgálni; az egyiknél a 0 hoz kötelezően 0 kell, hogy tartozzon, a másiknál pedig a 0-val nem lesz értelme a kérdésnek. Sajnos viszont léteznek más arányosságok is, így ha az egyiket ki tudjuk zárni, az nem jelenti azt, hogy a másik automatikusan jó lesz az adott feladathoz (persze középiskolás feladatoknál nagy valószínűséggel mégis így lesz).