Mekkora a nagy háromszög beírható körének sugara?

A hasonlóságból érdemes kiindulni; tudjuk, hogy az eredeti és a két kisebb derékszögű háromszög egymással páronként hasonlóak. A hasonlósági arány MINDEN egymásnak megfeleltethető szakaszra igaz, ez azt jelenti, hogy a beírható körök sugaraira is, vagyis a két kisebb háromszög hasonlósági aránya 3/4.

Ha tudjuk a hasonlóság arányt, akkor tudjuk a területek arányát is, ez a tanultak szerint az arány négyzete, vagyis (3/4)^2=9/16. Ez azt jelenti, hogy ha a két kicsi háromszög közül a nagyobbik területe T, akkor a kisebbik területe (9/16)*T, ezzel pedig megmondható a nagy háromszög területe, mivel ezek összege lesz az; T + (9/16)*T = ... = (25/16)*T.

Ez azért jó nekünk, mert így meg tudjuk határozni a két nagyobb háromszög területeinek arányát: (25/16)T/T = 25/16. Az elején felhasznált gondolatmenetet visszafelé felhasználva ebből gyökvonással kapjuk a háromszögek hasonlósági arányát, ami 5/4 lesz, ebből pedig kiolvashatóvá válik, hogy a nagy háromszög beírható körének sugarának hossza 5 (egység) lesz.

Ebben a levezetésben a hasonlóság elvét használtuk végig, konkrét számítást nem végeztünk, viszont a feladatban van elég adat, hogy konkrétan is ki lehessen számolni a beírható kör sugarát, de a hasonlóság megléte akkor is kulcsfontosságú marad.

Az első megoldását egyszerűsíthetjük. Van tehát 3 háromszögünk, amelyek páronként hasonlóak egymáshoz. A nagy befogói legyenek a, b, átfogója c, beírható körének sugara r. Ekkor a hasonlóságokat felírva:

3 = (a/c)r

4 = (b/c)r

3² + 4² = (a/c)²r² + (b/c)²r² = r², amiből r = 5, és közben a Pitagorsz-tételt is felhasználtuk.

#2, szép megoldás, tetszik is, de szerintem kicsit érdemes lenne részletezni;

az "(a/c)²r² + (b/c)²r² = r²" rész azért igaz, mert

-kiemelünk r²-et: r²*( (a²/c² + b²/c²)

-összeadjuk a törteket, ahogyan szoktuk: r²*( (a²+b²)/c² )

-mivel derékszögű háromszög van, ezért teljesül a Pitagorasz-tétel, vagyis a²+b²=c², ennek megfelelően az (a²+b²)/c² tört értéke 1, vagyis r²*( (a²+b²)/c² ) = r²*1 = r².