Egy millió ft. hogyan tevődik össze?

A négy alapművelet nem általános iskolai tananyag?

Egyszerű osztásról van, vagy hibásan megfogalmazott kérdésről.

1 000 000:20 000=1000:20=50

1 000 000:10 000=1000:10=100

1 000 000:5000=1000:5=200

Ehhez neked segítség kell?

Hűha, jó ajtón kopogtatsz. :D A pénzváltási probléma elég kemény dió. Leírom neked most formális hatványsorokkal. Tehát a pénzváltási probléma az, hogy

20000x1+10000x2+5000x3=k. Osszunk le 1000-rel, hogy pöttyet átláthatóbb legyen, látni fogjuk, hogy ez nem jelent semmi változást.

20x1+10x2+5x3=n. Most tegyük fel, hogy értelmes k és n van ott, a feladatban is az van.

Tekintsük a következő formális hatványsorokat:

f(x)=sum(i=0, ∞) x^20i=1/(1-x^20)

g(x)=sum(i=0, ∞) x^10i=1/(1-x^50)

h(x)=sum(i=0, ∞) x^5i =1/(1-x^5)

Tekintsük a F(x)=f(x)g(x)h(x) függvényt, ebben minden tag x^20i*x^10i*x^5i=x^n alakú lesz, mert a bal oldalak (a törtek előtti) kifejezésekből ilyen tagok adódnak, és ilyen tag pontosan annyi lesz, ahányféleképpen előáll az 20x1+10x2+5x3=n eset, azaz ahány megoldása van ennek az egyenletnek. Tehát x^n t(n) együtthatója minden n-re megadja a megoldásszámot.

És akkor most fog a pokol elszabadulni, és innentől már csak számítógéppel érdemes számolni.

A következő lépésben a fenti F(x) függvényt parciális törtekre bontjuk. Ez egy katasztrofálisan nagy számolás. Megkapjuk az elemi törteket, amiknek a nevezőjében elsőfokú polinomok valahányadik hatványai, illetve (valósak felett) irreducilisek valahányadik hatványai vannak. Ezeket a parciális törteket sorba fejtjük, majd a megfelelő tagok együtthatóit összegezzük. Így adódik majd nekünk a t(n) együttható, ami megmondja, hogy hányféleképpen is lehet éppen 1000000 forintot 20 ezresekre, 10 ezresekre és 5 ezresekre váltani. Azért írtam fel mégis a hatványsorokat és a sémát, hogy láss egy megközelítést a pénzváltási probléma egy változatára. Szóval a #2 válaszolónak mondanám: a pénzváltási probléma nagyon nem általános iskolás dolog. :D Formális hatványsorokkal szép esetekben meg lehet csinálni.

Mivel ez a számolás masszív számítógéphasználatot igényel, ezért megmutatok egy kevesebb, papíron is elvégezhető számolást. Hányféleképpen lehet n forintot 1 és 2 forintosokra váltani?

Az egyenlet itt:

x1+2x2=n.

Az ennek megfelelő két hatványsor:

f(x)=sum(i=0, ∞) x^i =1/(1-x)

g(x)=sum(i=0, ∞) x^2i=1/(1-x^2)

A fentiek szerint ezek képezzük ezek F(x)=1/((1-x)*(1-x^2)) szorzatát, majd parciális törtekre bontunk.

Adódik, hogy

F(x)=(1/2)*1/(1-x)^2+(1/4)*1/(1-x)+(1/4)*1/(1+x)

Itt észrevehetjük, hogy 1/(1-x)^2=(1/(1-x))'. Jön a hatványsorba fejtés:

1/(1-x)=sum(i=0, ∞) x^i

1/(1-x)^2=(1/(1-x))'=sum(i=0, ∞) (i+1)*x^i

1/(1+x)=sum(i=0, ∞)=sum(i=0, ∞) (-1)^i*x^i

Kapjuk tehát, hogy t(n)=(1/2)*(n+1)+1/4+(-1)^n*1/4

Tehát pl. n=10 esetben t(10)=6, azaz 10 forintot 6-féleképpen lehet 1 és 2 forintosokra váltani. Felmerül a kérdés, hogy ezt a 6-ot össze is lehet számolni, akkor minek itt túlbonyolítani mindent hatványsorokkal. Hát azért, mert mi van, ha én nem 10 forintot, hanem 10 milliót akarok felváltani 1 és 2 forintosokra, és akarom tudni, hogy ezt hányféleképpen tehetem. Ebből tudom, hogy t(10 000 000)= 5 000 001, azaz PONTOSAN 5 000 001-féleképpen lehet 10 millió forintot 1 és 2 forintosokra váltani. Nem kb-ra. Pontosan. És ennyi felváltást azért elég nehezen számolsz össze.