Milyen hosszú a háromszög oldala?

Az M-t tükrözve az AB felezőpontjára, a C O-ra vonatkozó tükörképét kapjuk.

Ez próbáld használni!

Adok három megoldást:

1. Legyen F az AB oldal felezőpontja. Egyrészt az S súlypont a CF súlyvonalon van, másrészt az OM egyenesen (Euler-egyenes), továbbá OS:SM = 1:2. SCM és SOF háromszögek hasonlóak, amiből MC = 10. Pitagorasz-tételből: 11² + 10² = CO² = BO² = 5² + FB², azaz FB = 14, és így AB = 28.

**************************************************

2. Azt használjuk fel, hogy az M magasságpont oldalegyenesekre való tükörképe a körülírható körön van. Legyen M' M-nek az AB-re vonatkozó tükörképe. MM' = 2*OF = 10. OCM' egyenlőszárú háromszög, OM a szimmetriatengelye, így 10 = MM' = CM. Innentől a megoldás azonos az előzővel.

**************************************************

3. Dolgozhatunk vektorokkal is, legyen O az origó, és OM = 𝗲, OF = 𝗳 a bázisvektorok. Világos, hogy 𝗲𝗳 = 0. A csúcsokba mutató vektorokat 𝗮, 𝗯, 𝗰 fejezzük ki az {𝗲, 𝗳} bázisban. Valamilyen x, y valós számokkal:

𝗮 = x𝗲 + 𝗳

𝗯 = -x𝗲 + 𝗳

𝗰 = 𝗲 + y𝗳

Egyrészt: |𝗯|=|𝗰|, így

(x²-1)𝗲² + (1-y²)𝗳² = 0.

Másrészt:

BM merőleges AC-re, ezt vektorosan felírva:

((-x-1)𝗲 + 𝗳)((1-x)𝗲 + (y-1) 𝗳) = 0, amiből

(x²-1)𝗲² + (y-1)𝗳² = 0.

A kapott két egyenlet csak úgy lehet egyszerre igaz, hogy 1-y² = y-1. Ebből y=-2 vagy y=1. Az utóbbi esetben ABC háromszög elfajuló, így marad y=-2, amiből x² = 196/121, és |𝗯-𝗮| = |2x||𝗲| = 28.