Ezt az azonosságos feladatot hogyan kell megoldani?

Ha n > 1 páratlan, akkor van azonosság az (a^n + b^n)-re:

a^n + b^n = (a + b)*(a^(n–1) – a^(n–2)*b + … + b^(n–1)).

a^3 + b^3 = (a + b)*(a^2 – a*b + b^2).

Ellenőrzésként bontsd ki a zárójeleket.

Az ilyen hányadosokat érdemesebb visszavezetni a mértani sorozat összegképletére (már ha tanultál olyat), vagyis egy a*(q^n - 1)/(q-1) alakú képlet szülessen meg. Esetünkben:

(a^3 + b^3)/(a+b)

Ha b=0, akkor nincs nehéz dolgunk, mert az eredmény a^3/a=a^2 lesz (már ha a=/=0).

Ha b=/=0, akkor emeljünk ki a számlálóból (-b^3)-öt, a nevezőből (-b)-t:

(-b^3)/(-b) * (a^3/(-b^3) - 1) / (a/(-b) - 1), kicsit átalakítva:

b^2 * ( (-a/b)^3 - 1) / ( (-a/b) - 1) )

Ha most erre ránézünk, akkor láthatjuk, hogy ez az összeg nem más, mint annak a mértani sorozatnak az összegképlete, amelynek első tagja b^2, hányadosa (-a/b), és 3 tagú. Ezek alapján fel tudjuk írni a mértani sorozat tagjait:

Első tag: b^2

Második tag: b^2 * (-a/b) = -a*b

Harmadik tag: -a*b * (-a/b) = a^2

Ezek összege: b^2 - a*b + a^2

Tehát (a^3 + b^3)/(a+b) = b^2 - a*b + a^2.

Ellenőrizni úgy lehet, hogy felszorzol a nevezővel és kibontod a zárójelet. Az is látható, hogy a képlet b=0 esetén is működik, egyébként.