Hogyan oldjam meg a következő kombinatorikai feladatot?

Kilencféle tányér.. az oké? De mindegyikből egy darab van?

A különböző mit jelent vajon? Azt, hogy az egyik mély, a másik lapos? Vagy a háromféle mélytányér egyes darabjai is különböznek?

Eléggé pontatlan ez a feladat...

Hogy egy kicsit átláthatóbb legyen a kérdés, átfogalmazom a feladatot: egy dobozban vannak kockák (piros/zöld/kék), gömbök (lila/barna/sárga/szürke), és forgáskúpok (fekete/fehér), az azonos fajtájúak azonos méretűek.

a) Hányféleképpen választhatunk ki közülük 4 nem feltétlenül különböző testet?

A feladatból nem derül ki, hogy számít-e a sorrend vagy nem, de ha nem számítana a sorrend, akkor az eléggé nehéz lenne (ismétléses kombináció), ezért valószínűleg számít a sorrend, így ismétléses variációt kapunk. Mivel 8-féle választási lehetőség van, ezért a válasz: 9*9*9*9 = 9^4 = 6561.

b) Hányféleképpen választhatunk ki közülük 4 különböző testet?

Mivel csak 3 különböző test van, ezért erre a válasz 0. Ha a feladat szín szerint is értelmezi a különbözőséget, akkor a válasz ismétlés nélküli variációval: 9*8*7*6 = 3024, ebben az esetben számoltunk a sorrendiséggel.

Ha a sorrend nem számít, akkor osztunk 4!=24-gyel, így 3024/4! = 3024/24 = 126 lehetőségünk van. Ha ezt ismétlés nélküli kombinációval számolnánk, akkor a válasz (9 alatt a 4) = 9!/(4!*5!) = 362880/2880 = 126 (természetesen az osztás menet közbeni egyszerűsítéssel is számolható, vagyis felírjuk, hogy (9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(4*3*2*1*5*4*3*2*1), és észrevesszük, hogy alul/felül bizonyos számok "ütik egymást").

c) Hányféleképpen vehetünk ki a dobozból 4 különböző testet úgy, hogy legfeljebb két gömb legyen közöttük?

Ennél a feladatnál érdemesebb azt megszámolni, hogy mikor veszünk 3;4 gömböt, és azt az eredményt levonjuk az összes esetből.

Összes eset: minden megkötés nélkül 9*8*7*6 = 3024-féle lehetőségünk van.

1. "rossz" eset: 3 különböző gömböt veszünk. Meg kell néznünk, hogy a gömböket hova rakjuk le. Mivel nincs sok lehetőség, ezért összeszedetjük a lehetőségeket:

GGGX, itt a lehetőségek száma 4*3*2*5 = 120

GGXG, itt a lehetőségek száma: 4*3*5*2 = 120

GXGG, itt a lehetőségek száma: 4*5*3*2 = 120

XGGG, itt a lehetőségek száma: 5*4*3*2 = 120

Ezeket összeadva kapjuk, hogy 120+120+120+120=480-féleképpen tudunk 3 különböző golyót venni

Látható, hogy mindig ugyanazt az eredményt kaptuk, tehát egyszerűbben is lehetett volna számolni; a 3 golyót (4 alatt a 3)=4-féle helyre lehet eltenni, esetenként 120 lehetőséggel, így 4*120=480 lehetőséget megszámolva.

2. "rossz" eset: 4 különböző golyót veszünk, itt egyszerűen 4*3*2*1=24 lehetőségünk van.

Összesen tehát 3024 - 480 - 24 = 2520-féle lehetőségünk van 0;1;2 darab golyó kivételére.

Ha a sorrend nem számít, akkor egyszerűen osztunk 4!=24-gyel, így 2520/24=105 lehetőséget kapunk.