Emelt matekos kérdés, hogy kell kiszámolni a derivált segítségével a minimum/maximum térfogatát/területét/felszínét egy testnek?

Gondolom a levezetés addig a pontig megy, amikor megkapjuk a függvény térfogatát x függvényében.

A megoldókulcsban látható egyébként, hogy jó lett-e a levezetés; ha x jelöli a magasságot, akkor ezt a függvényt kapjuk a térfogatra:

V(x) = 2x^3 - 65x^2 + 500x

Ennek a függvénynek keressük a maximumát az értelmezési tartományon, ami a 0<x<12,5. Ennek a függvénynek a maximumát deriválással meg tudjuk határozni; ahol a derivált értéke 0, ott lehet szélsőérték.

Az x^n alakú függvények deriváltját könnyű megjegyezni;

(x^n)' = n*x^(n-1), ahol n valami konstans. A képlet értelmezése az, hogy a kitevőben lévő szám "lekerül" szorzónak, a kitevőbe pedig a számnál 1-gyel kisebbn szám kerül. Amit még tudni kell, hogy összeg/különbség esetén tagonként lehet deriválni, tehát ezt kell meghatároznunk:

(2x^3)' - (65x^2)' + (500x)'

A 2x^3 deriváltja a képlet szerint 3*2x^2 = 6x^2.

A 65x^2 deriváltja a képlet szerint 2*65x^1 = 130x.

Az 500x deriváltja a képlet szerint 1*500*x^0 = 500.

Tehát a deriváltfüggvény: 6x^2 - 130x + 500

Azt akarjuk, hogy ez 0 legyen, tehát 6x^2-130x+500=0, ez megoldható a megoldóképlettel: x=5 és x=50/3.

A szélsőértékről azt kell tudni, hogy előtte a függvény (bizonyos környezetben) monoton nő, majd monoton csökken, vagy fordítva. Ha viszont előtte és utána is nő, vagy csökken, akkor az adott helyen nincs szélsőérték. Ezt egy egyszerű behelyettesítéssel egyszerűbb függvényeknél meg tudjuk tapasztalni;

Az x=5 esetén nézzük, hogyan viselkedik a függvény előtte és utána. Írjunk be például 4-et x helyére: 2*4^3 - 65*4^2 + 500*4 = 1088

Az x=5 esetén: 2*5^3 - 65*5^2 + 500*5 = 1125

Az x=6 esetén: 2*6^3 - 65*6^2 + 500*6 = 1092

Látható, hogy 4-ről 5-re nőtt a függvény, 5-ről 6-ra csökkent, tehát valóban (lokális) maximumhelyet találtunk.

Az x=50/3=~16,67 most kiesik az értelmezési tartományból, de nézzük meg, hogy a függvény hogyan viselkedik ott;

x=16-ra 2*16^3 - 65*16^2 + 500*16 = -448

x=50/3-ra 2*(50/3)^3 - 65*(50/3)^2 + 500*(50/3) = -12500/27 =~ -462,963

x=17-re 2*17^3 - 65*17^2 + 500*17 = -459

Itt az látható, hogy csökkent a függvény, utána elkezdett nőni, tehát az x=50/3 helyet (lokális) minimum van.

Ha a lokális szélsőértékhelyek egyben globálisak is, azok egyéb vizsgálatokat igényelnek, de az most nem érdekes annyira.

Hogy láss olyan példát is, nézzük meg az x^3 függvényt; deriváltja 3x^2, ez ránézésre az x=0 helyen veszi fel a 0-t, tehát az x=0 helyen van esély szélsőértékre.

A függvényérték x=(-1)-re (-1)^3=-1, x=0-ra 0^3=0, x=1-re 1^3=1. Azt látjuk, hogy itt végig nő a függvény, tehát az x=0 helyen nem lehet szélsőérték.

#10, te nagyon el vagy tájolva...

Egyrészt ritka az olyan, aki elsőre megért mindent (főleg matekból...). Másrészt a kérdezőt csak érdekli a dolog, ha már legalább arra a szintre eljutott, hogy ide kérdést ír ki.

Igazad van, a deriválás (már ami az emelt szintű matekhoz kell) nem egy agysebészet, de ez nem azt jelenti, hogy nem kell megtanulni és megérteni. Valakinek könnyebben megy, valakinek kevésbé, de ha nem is foglalkozik vele, akkor biztos, hogy nem fogja megérteni.

Egyébként ehhez a feladathoz nem kell feltétlenül a deriválás, közepekkel is meg lehet oldani, ami szintén nem egy agysebészet, de ahhoz több kreativitásra van szükség, hogy azt használni tudjuk ennél a példánál, mint a mechanikusan betanulható deriválás.