Valaki levezetné hogyan kell kiszámítani megadott egyenletű egyenesek távolságát?

ha y = 2-x

akkor betudsz helyettesíteni

az x + y = 1-et áttudod írni x + 2-x = 1

de ez pont egy rossz példa, mert nincs rá megoldás

Először is, ha két egyenes metszi egymást vagy egybe esnek, akkor távolságuk 0. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor beszélhetünk távolságról. A távolság nem más, mint a két egyenest összekötő, azokra MERŐLEGES szakasz hossza (mint például a paralelogrammánál a magasság). Ennek megfelelően egy lehetséges megoldás;

-Először is állapítsuk meg, hogy a két egyenes párhuzamos-e egymással, ennek talán a legegyszerűbb módja, hogy megpróbáljuk a metszéspontjukat kiszámolni, egyenletrendszerrel:

x+y = 1 }

y = 2-x }

Az elsőbe behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 2=1, ami nem igaz, tehát az egyeneseknek nincs metszéspontjuk, így csak párhuzamosak lehetnek.

-Ezután valamelyik egyenesről keressünk egy tetszőleges pontot. Például az x+y=1 egyenletű egyenesen az (1;0) pont megtalálható.

-A kiválasztott pontra állítsunk merőlegest az egyenesre. Az egyenes normálvektora az n(1;1), ez a keresett egyenes irányvektora, vagyis v(1;1), ebből csináljunk normálvektort, ami (1;-1) lesz. A merőleges egyenes egyenlete, ami átmegy az (1;0) ponton: x-y=1-0, vagyis x-y=1.

-A kapott egyenes és a másik (y=2-x egyenletű) egyenesnek számítsuk ki a metszéspontját.

-Ha ez megvan, akkor van két pontunk, amiknek már csak a távolsága kell, hogy megtudjuk a két eredeti egyenes távolságát.

Egy másik, inkább geometriai megközelítésű megoldás; nézzük meg, hogy a két egyenest vízszintesen és függőlegesen mennyi kell tolnunk ahhoz, hogy fedésbe kerüljenek, ezt hívjuk most vízszintesen és függőlegesen mért távolságnak. Először írjuk át az egyenes egyenletét függvényalakra:

y = 1 - x

y = 2 - x

A "függőleges távolsághoz" azt nézzük meg, hogy ugyanahhoz az x-hez milyen értékek tartoznak. Ha x helyére beírjuk a 0-t, akkor 1-et és 2-t kapunk, tehát a függőleges távolságuk 1 lesz. Ezután nézzük meg, hogy az x-ek helyére mit írjunk, hogy mindkét függvény értékére (például) 2-t kapjunk. Most ránézésre is látjuk, hogy az elsőben (-1)-et kell írnunk, a másodikban 0-t, tehát a két egyenes vízszintes távolsága is 1 lesz.

Így a koordinátarendszerben be tudunk rajzolni egy derékszögű háromszöget, melynek ismerjük a két befogóját, és ennek a háromszögnek az átfogóhoz tartozó magasságára van szükségünk (ez lesz a két egyenes távolsága). A derékszögű háromszög átfogója Pitagorasz tétele szerint gyök(2) hosszú. Az átfogóhoz tartozó magasságot a háromszög területképletéből tudjuk megmondani; a befogók alapján 1*1/2=1/2, ha az átfogóhoz tartozó magasság M, akkor 1/2 = M*gyök(2)/2, ennek megoldása 1/gyök(2)=M, tehát a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága, így a két egyenes távolsága 1/gyök(2) egység.

nyilván nem lesz megoldásuk, mert párhuzamosak, pont az a kérdés, hogy milyen távol vannak.

a 4-es és 6-os válaszolók tök jól levezették

Az ax+by+c=0 egyenes egységnyi hosszú normálvektora:

(a/gyök(a^2+b^2),b/gyök(a^2+b^2)) vagyis (a,b) osztva a hosszával.

Ha a két egyenes egységnyi normálvektora megegyezik vagy az egyiket -1-el szorozva megegyeznek, akkor és csak akkor párhuzamosak. A -1-es esetben fordítsuk meg az egyik egyenlet előjeleit.

Egy (x0,y0) pont távolsága ax+by+c=0 egyenestől (ax0+by0+c)/gyök(a^2+b^2). (A normálvektor hosszával kell osztani) az egyenes egyik oldalán levő pontokra pozitív, a másik oldalon levő pontokra negatív. Ha ezt kiszámoljuk a két egyenlettel az origora és a két értéket levonjuk egymásból és abszolutértéket veszünk, megkapjuk az egyenesek távolságát.

A magyarázat hosszú, a számolás egyszerű.