Geometria...hogyan kell hozzáfogni?

Nem találtam szebb megoldást, de mivel a gondolatmenet vége egy harmadfokú egyenlet, aminek nincsenek szép megoldásai, ezért gyanítom, nem is nagyon lesz ennél szebb megoldás.

Kösd össze a kör középpontját a körnek az ábrán jelölt 6 pontjával (a háromszögcsúcsokkal és a metsző szakaszok végpontjaival, amik egybeesnek az 1;2;3 egység hosszú szakaszokkal), ekkor a háromszögön belül keletkezik 6 derékszögű háromszög, amelyek páronként egybevágóak.

Legyen a köré írt kör sugara R, ekkor a 3 különböző derékszögű háromszögről ezeket mondhatjuk el:

-Az egyik egyik befogója (R-1), átfogója R, a másik befogót nem tudjuk

-A másik egyik befogója (R-2), átfogója R, a másik befogót nem tudjuk

-A harmadik befogója (R-3), átfogója R, a másik befogót nem tudjuk.

Ezekben Pitagorasz tételének segítségével meg tudjuk határozni a másik befogókat R függvényében, ezáltal az eredeti háromszög mindhárom oldalát is.

A háromszög területének kiszámítására sok képlet van, ezek közül kettőt tudunk használni a megismert adatok szerint, mindkét képlet megtalálható ezen az oldalon:

[link]

Az egyik a Héron-képlet:

T = gyök(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), ahol a;b;c a három oldal, s a háromszög kerületének fele (vagyis s=(a+b+c)/2)). Mivel most a háromszög oldalai a Pitagorasz-tételből 2*gyök(valami) alakban vannak, ezért a 2-vel való osztással nem lehet gond.

A másik a háromszög köréírt körének sugarát használja fel:

T = (a*b*c)/(4R), ahol a;b;c a háromszög három oldala, R a köréírható kör sugara.

Mivel mindkét képlettel ugyanazt az eredményt kell, hogy kapjuk, ezért ezt a kettőt egyenlővé tudjuk tenni:

gyök(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) = (a*b*c)/(4R)

Ebbe behelyettesítve és az egyszerűbb átalakításokat elvégezve ezt az egyenletet kapjuk:

[link]

Ha ezt végigkínlódjuk, akkor egy negyedfokú egyenletet fogunk belőle kapni, aminek egy racionális gyöke R=3/2, a harmadfokú egyenletnek csak irracionális gyökei vannak:

[link]

[link]

A négy megoldásból csak az R=~3,8794-es megoldás jöhet számításba, mivel a kiinduló feltételek alapján R>3.

Ha ez megvan, akkor már a háromszög területét könnyű meghatározni.

Jelölje d₁, d₂, d₃ az említett távolságokat, továbbá r a beírható, R a körülírható kör sugarát. Ekkor néhány, a háromszögre vonatkozó trigonometrikus azonosság felhasználásval az alábbi egyenletek adódnak:

d₁ + d₂ + d₃ = 2R-r

d₁*d₂*d₃ = (R/2)*r²

Ebből R-re egy harmadfokú egyenletet kapunk, amiből már a, b, c oldalak kiszámíthatóak, így T is könnyen megvan (lásd a fenti hozzászóló).