Mi a megoldása ennek a geometriai feladatnak?

Geometriai inverzióval egyszerűen megoldható. Hallottál róla?

[link]

Ha nem hallott róla, akkor is könnyen megoldható;

Legyen a K kör középpontja O, ekkor az AA'OA” egy r oldalhosszú rombuszt alkotnak. A rombuszról tudjuk, hogy átlóik merőlegesen felezik egymást. Ez azért jó nekünk, mert az AO szakasz a k kör egy húrja, amiről tudjuk, hogy szakaszfelező merőlegese a kör egyik szimmetriatengelye, ami pedig szükségszerűen áthalad a k kör középpontján. Ezzel sikerült belátnunk, hogy az A'A” által meghatározott egyenes áthalad az k kör középpontján. Hasonló gondolatmenet szerint a B'B” is áthalad a kör középpontján, tehát ott fogják egymást metszeni.

Az O középpontú K kör legyen az inverzió alapköre, az A'A'', B'B'' egyenesek metszéspontja pedig M. Ekkor az inverzió során A'A'' képe az OA'A'' kör, illetve B'B'' képe az OB'B'' kör, továbbá e két kör O kívüli közös pontja M-nek a képe lesz, jelöljük ezt M'-vel. Be kell látnunk, hogy MA=MB=MO, ebből adódik, hogy M a k kör középpontja. Az első egyenlőség triviális. Az inverzió definíciójából:

OM(OM+MM')=OB²

az OB'M' körben az M pontra felírt húrtételből pedig:

OM*MM'=(OB+MB)(OB-MB)=OB²-OM²

ahol az első húr az OM' szakasz, a második húr a B ponton mint az OB'M' kör középpontján halad keresztül.

A két egyenletből kapjuk, hogy OM=MB.