Hogyan oldanátok meg az alábbi feladatot?

Egy lehetséges megoldás:

Először nézzük, hogy x=0 esetén mi a helyzet:

0/(0+1) - y/(y+1) = 1, vagyis

-y/(y+1) = 1 | szorzunk a nevezővel:

-y = y+1, ennek megoldása y=-1/2, ami nem lesz jó.

Tehát keressünk másik megoldást, vagyis x=/=0, ekkor pakoljuk át az y-os törtet a jobb oldalra:

x/(x+1) = 1 + y/(y+1)

A jobb oldalt hozzuk közös nevezőre:

x/(x+1) = (y+1)/(y+1) + y/(y+1), vagyis

x/(x+1) = (2y+1)/(y+1)

A bal oldalon megtehetjük azt, hogy a törtet egyszerűsítjük x-szel (mivel x nem 0), ekkor az x/(x+1) törtből 1/(1 + 1/x)) lesz, tehát:

1/(1 + 1/x)) = (2y+1)/(y+1), most vehetjük mindkét oldal reciprokát:

1 + 1/x = (y+1)/(2y+1), kivonjuk az 1-et:

1/x = (y+1)/(2y+1) - 1, újra közös nevezőre hozunk:

1/x = (-y)/(2y+1), majd újra vehetjük mindkét oldal reciprokát:

x = (2y+1)/(-y), itt pedig az (-y)-nal való osztást végezzük el:

x = -2 - 1/y

Mivel x egész, ezért a jobb oldalon álló kifejezésnek is egésznek kell lennie, ami csak úgy tud egész lenni, hogyha az 1/y egész, ez pedig csak y=1 és y=-1 esetén valósul meg, de az eredeti feladatban y értéke nem lehet (-1), így csak az y=1 tud működni, ekkor x=-2-1/1 = -2-1 = -3, tehát az eredeti egyenlet megoldáshalmaza: (x;y) = (-3;1), az ellenőrzés rád marad.

A b)-ben látható feladattípusnál jellemzően az a kulcs, hogy a felülvonásos számok felírhatóak összegalakban; például:

123 = 1*100 + 2*10 + 3*1

9057 = 9*1000 + 0*100 + 5*10 + 7*1.

Ennek megfelelően:

aa = a*10 + a = 11a

aaa = a*100 + a*10 + a = 111a

Tehát a gyökjel alatt ez látható:

a + 11a + 111a + 82b, összevonás után

123a + 82b

Erről kellene kitalálni, hogy gyöke mikor lesz egész, vagyis másik megfogalmazásban; a kifejezés mikor lesz négyzetszám.

Érdemes az együtthatókat felírni prímtényezők szorzataként;

123 = 3*41

82 = 2*41, tehát ezt kapjuk:

3*41*a + 2*41*b, itt ki tudunk emelni 41-et:

41*(3a + 2b)

Mivel a 41 prímszám, ezért ez csak úgy tud négyzetszám lenni, hogyha a (3a+2b) értéke 41*négyzetszám alakú. Először nézzük meg, hogy a (3a+2b) milyen értékek között mozoghat; ha az a1, a b 0, akkor az összeg értéke 3*1+2*0=3, ha pedig mindkettő 9, akkor 3*9+2*9=45-öt kapunk. Tehát a (3a+2b) kifejezés értéke 3 és 45 között mozog. Ennek megfelelően nincs más választásunk; a (3a+2b) értéke csak 41 lehet. Így ezt az egyenletet kell megoldanunk:

3a + 2b = 41, érdemes b-re rendezni:

b = (41-3a)/2

Mivel b 0-9 közé eső egész szám, ezért a törtnek is így kell viselkednie:

0 <= (41-3a)/2 <= 9, szorzunk 2-vel:

0 <= 41-3a < 18, kivonunk 41-et:

-41 <= -3a < 23, osztunk (-3)-mal, így a reláció megfordul:

~13,67 >= a > ~7,67, tehát a lehetséges értékei: 8;9

Ha a=8, akkor b=(41-3*8)/2 = 8,5, ami nem jó,

Ha a=9, akkor b=(41-3*9)/2 = 7.

Tehát az eredeti feladat egyetlet megoldása: (a;b)=(9;7).

#4 és #5

Egy technikai javaslat: A gyakorikérdések weblapja túl nagy sorközöket generál. Ezért szerintem elegendő a bekezdéseket csak egyetlen Return-nel (csak új sor, extra sorköz nélkül) elválasztani. Akkor a kommentnek volna esélye kiférni 1 képernyőre és így sokkal olvashatóbb lenne.

Nekem nagyon fura, hogy ezen problémázol. Már más kérdésnél is felhoztad, azért reagálok rá.

Egyrészt talán jobb is, hogyha nem látja egyben az egészet, jobban külön tudja választani az elejét a végétől. Másrészt meg akit zavar, az másolja át a szöveget Wordbe, ott aztán úgy formázza a szöveget, ahogy akarja. Meg egyébként is; a saját időmet rászánom a feladat levezetésére, nehogy már még az is az én gondom legyen, hogy az extra igényeket kiszolgáljam... Esetleg bőrkötésben, arany szalaggal átkötve ne küldjem el a kérdező címére? Az alapvető formai igényeknek megfelelő, ezen kívül a szöveget mindenki úgy formázza magának, ahogy akarja.

Egyébként azért így írtam, hogy a megfelelő részek jól elkülönüljenek, nem folyjanak egybe. És ez nem egy verseny, hogy „a válasznak egy képernyőre ki kell férnie”.

a)

A klasszikus ötlet, hogy szorozzunk a nevezőkkel és rendezzük az egyenletet.

x/(x+1)-y/(y+1)=1 //*(x+1)(y+1), ahol x/=-1 és y/=-1

xy+x-xy-y=xy+x+y+1

-xy=1+2y //fejezzük ki x-et

x=(1+2y)/(-y)=-2-1/y

És eljutottunk oda, ahova a 4-es hozzászólás. Ha 1/y egész, akkor y=1 vagy -1. De, mint korábban írtuk, -1 nem lehet.

Ezért y=1 és x=-2-1/y=-3.

Annyi volt trükk, amire más megoldásokban is törekedni kell, hogy egyetlen nemegész tag legyen az egyenletben, ami "1/valamelyik változó polinomja" alakú. De ez itt szinte magától kialakult.