Ebben a kombinatorika feladatban tud segíteni valaki?

"Az miből jön ki, hogy P(1)=1?"

Elsőre bármelyik gombot nyomja meg a nagyi, a TV bekapcsolódik.

Igaz. Ez a mondatot benézem, mert a mi tévénk a csatornagombra is bekapcsol. Akkor újra nekifutok.

A TV-nek három állapota van és az n-edik gombnyomás után a valószínűség:

- kikapcsolt K(n)

- bekapcsolt B(n)

- és félig bekapcsolt, amikor a be/ki gombot már megnyomtuk, de a csatornaváltót még nem F(n)

- a gomb megnyomásának valószínűsége Q(gomb) Q(be/ki)=0,1 és Q(1-9)

Az átmenet a gombnyomások után:

B(n)=(F(n-1)+B(n-1))*Q(1,9); F(n)=K(n-1)*Q(be/ki); K(n)=(B(n-1)+F(n-1))*Q(be/ki)+K(n-1)*Q(1-9);

Számoljuk ki sorban a valószínűségeket az előzőkből:

B(0)=0; F(0)=0; K(0)=1;

B(1)=0; F(1)=0,1; K(1)=0,9;

B(2)=0,1*0,9=0,09; F(2)=0,9*0,9=0,09; K(2)=0,1*0,1+0,9*0,9=0,82;

B(3)=0,18*0,9=0,162; F(3)=0,82*0,1=0,082; K(3)=0,18*0,1+0,82*0,9=0,756;

B(4)=(0,162+0,082)*0,9=0,2196; F(4)=0,756*0,1=0,0756; K(4)=(0,162+0,082)*0,1+0,756*0,9=0,7048;

Ellenőrizni is lehet hogy nem számoltunk-el valamit: minden sor összege 1.

És én úgy értelmeztem a feladatot, hogy be/ki és be/ki az kikapcsol.

De valóban lehet úgy is, hogy be/ki és be/ki az félig bekapcsolt állapot. És lehet, hogy az utóbbi az igazi. Nézzük az állításokat sorban:

1. A bekapcsoláshoz a ki/bekapcsoló gombot, majd egy csatornaváltó gombot kell benyomni.

2. Ha utána csatornaváltó gombot nyomunk (akár többször is), akkor a tv bekapcsolva marad.

3. Ha rányomunk a ki/bekapcsolóra, akkor a tv kikapcsolódik.

Az első állítás minden előzménytől függetlenül érvényes. A harmadik viszont nem. Pl. kikapcsolt állapotban nem érvényes. Ezért az 1-es előzménynek kell tekinteni, azaz a TV csak bekapcsolt állapotból kapcsol ki, félig bekapcsoltból nem.

Akkor:

B(n)=(B(n-1)+F(n-1))*Q(1,9); F(n)=(F(n-1)+K(n-1))*Q(be/ki); K(n)=B(n-1)*Q(be/ki)+K(n-1)*Q(1-9);

B(0)=0; F(0)=0; K(0)=1;

B(1)=0; F(1)=0,1; K(1)=0,9;

B(2)=0,1*0,9=0,09; F(2)=(0,9+0,1*0,1)=0,1; K(2)=0,9*0,9=0,81;

B(3)=0,19*0,9=0,171; F(3)=0,91*0,1=0,091; K(3)=0,09*0,1+0,81*0,9=0,738;

B(4)=(0,171+0,091)*0,9=0,2358; F(4)=(0,091+0,738)*0,1=0,0829; K(4)=0,171*0,1+0,738*0,9=0,6813;