Hogyan lehet teljes indukcióval bebizonyítani, hogy az 1+1/2+1/4+...+1/2^n összeg tetszőleges egész n-re kisebb 2-nél?
válasza:Azt kellene bemutatni, hogy az n. tagig összeadva az n. taggal kisebb az összeg kettőnél (most az n 0-tól indul: 1/2^0=1).
Az első lépés tehát n=0-ra bemutatni: 1/2^0=2-1.
Az indukciós lépés: tegyük fel hogy igaz n=k-ra: 1+1/2+1/4+...1/2^k=2-1/2^k.
Be kellene látni, hogy az állítás igaz n=k+1-re is:
1+1/2+1/4+...1/2^k+1/2^(k+1)=2-1/2^k+1/2^(k+1)
Innen 2-1/2^k+1/2^(k+1)=2-1/2^(k+1), vagyis k+1-re is igaz az állítás.
válasza:Ezzel a fajta bizonyítással csak annyi a „bajom”, hogy „szerencse” is kell hozzá, mert ugye honnan szedted azt, hogy pont az utolsó taggal lesz kevesebb az összeg. Itt két lehetőség van; vagy tesztelted valamelyik tagig, és ezt felfedezted, vagy más bizonyításból tudod, hogy az összeg így viselkedik. A lényeg, hogy ez nem „tisztán” teljes indukciós bizonyítás, ettől függetlenül teljes értékű, és annyiban jó, hogy leírtad, hogy erre a megközelítésre nem gondoltam.
„Tisztán” teljes indukciós bizonyítás alatt azt értem, hogy az eredeti egyenlőtlenségből indulunk ki.
válasza:Amit 1-es ír az a teljes értékű megoldás.
Nem szerencse kell hozzá, hanem végig kell gondolni, hogy mit akarunk és mi kell hozzá.
Ha azt akarom, hogy S(n)+a(n+1)<2 teljesüljön, akkor annak az a feltétele, hogy
S(n)<2-a(n+1) minden n-re.
Erre van szükségem, ezért ezt próbálom teljes indukcióval bizonyítani.
A teljes indukciós feltevés BÁRMI lehet, ami
1) igaz ÉS
2) számomra hasznos
Lehet az a teljes indukció feltevés, hogy
S(n) < 1 , de ez nem lesz igaz, így megbukik.
Lehet az, hogy
S(n) <3, ez igaz, de nem lesz hasznos így ezzel nem megyek semmire.
Tehát az nem jó feltevés, hogy S(n) < 2, mert utána nem lesz hasznos.
Egy <2 számhoz ha pozitív számot adok, akkor nem tudom garantálni, hogy nem lépi túl a 2-őt. Így a "triviális" indukciós feltevés nem működik ebben az esetben és gondolkodni kell, hogy mi lenne az, ami működik is.
Pedig működik, meg lehet „extra okoskodás” nélkül is oldani.
Az igazság az, hogy felvetettem magamban a kérdést, és kellett rajta gondolkoznom, mire rájöttem, hogy hogyan lehetne megoldani, de csak az alapállítást felhasználva is bizonyítható, mert nekem sikerült, és emiatt kedvcsinálóként írtam ki a kérdést az oldalra.
válasza:Akkor megírom a teljes indukciós bizonyítást;
n=0-ra 1<2, tehát az állítás igaz.
Tegyük fel, hogy n-ig igaz, hogy 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n < 2, nézzük meg, hogy n+1-re mi a helyzet:
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n + 1/2^(n+1) < 2
Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget 2-vel;
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n < 4, majd vonjunk ki 2-t:
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n < 2, ez pedig maga az indukciós feltevés, tehát az eredeti állítás igaz.
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!