Adott három pont pedig(2, 1) Q(7, 13) r(6, 4) Határozod meg pq és pr vektorok Koordinátait Illetve a két vektor hosszát. Két vektor közti sziget azaz cos y értékét majd ebből vissza keresve y szöget. Hogyan kell ezt kiszámolni?

Igazán odafigyelhetnél, hogy mit írsz ki kérdésnek...

A PQ és PR vektorokat úgy kapod, hogy, az utóbbi pont koordinátáiból kivonod az előbbi pont azonos helyen lévő koordinátáit;

PQ = (7-2 ; 13-1) = (5;12)

PR = (6-2 ; 4-1) = (4;3)

Az általuk bezárt szöghöz a skaláris szorzatot lehet használni;

a*b = |a|*|b|*cos(y), illetve aktualizálva a feladathoz:

PQ * PR = |PQ|*|PR|*cos(y)

A képletben |a| és |b| az a és b vektorok hossza, az a*b szorzat pedig így számolható: x1*x2 + y1*y2, vagyis az azonos helyen lévő koordinátákat összeszorzod, és a szorzatokat összeadod. Esetünkben;

PQ * PR = 5*4 + 12*3 = 20+36 = 56, tehát ez megy a bal oldalra.

A vektorok hosszát így lehet kiszámolni: gyök(x1^2 + y1^2), tehát a vektor koordinátáit külön-külön négyzetre emeled, azokat összeadod, végül gyököt vonsz (lásd. Pitagorasz-tétel), esetünkben;

|PQ| = gyök(5^2 + 12^2) = 13

|PR| = gyök(4^2 + 3^2) = 5

Tehát az egyenletünk;

56 = 5*13*cos(y), rendezés után

56/65 = cos(y), tehát ekkora a két vektor hajlásszögének koszinusza. Ebből a szöget egy egyszerű visszakereséssel kapjuk;

y = arccos(56/65) =~ 30,51°.