Ebből a szorzatbol hogyan fog kijonni az utolsó tag?

Igen, az első rosszat írt, de csak pontosításra szorul.

Annak idején tanultátok azt az azonosságot, hogy

a^k : a^n = a^(n-k), vagyis ha azonos (nemnulla) alapú hatványokat osztunk egymással, akkor az eredmény úgy is megadható, hogy az alapot a kitevők különbségére emeljük. Most ugyanez van, csak az azonosságot fordítva kell használni;

2^(k-1) = 2^k : 2^1, amit törtalakban is felírhatunk; = 2^k/2.

Abból sehogy. A kérdésfeltevésben is csúsztatás van, ugyanis nem egyenlőség van, hanem nagyobb-egyenlőség.

A teljes indukciós bizonyításnak rendszerint az az alappillére, hogy egy ismert tényre támaszkodunk. Esetünkben az ismert tény az, hogy k-ig igaz, hogy k!>=2^k, és ennek segítségével akarjuk megmutatni, hogy (k+1)!>=2^(k+1) (ezt úgy hívjuk, hogy a tulajdonság lépésenként öröklődik). A fent írt lépéseknél nem úgynevezett ekvivalens átalakítás történik (ezért sem egyenlő a két kifejezés tetszőleges k-ra), hanem a 2^(k-1)*(k+1) kifejezést alulról becsültük. Nézzünk egy konkrét példát, abból talán jobban megérted;

Nézzük, hogy k=4-re mi a helyzet; 4!=24, 2^4=16, tehát 24>16, az állítás igaz.

Most azt kellene megmutatni, hogy k=5-re is igaz lesz az állítás, vagyis 5!>=2^5 teljesül. Persze megtehetnénk azt is, hogy kiszámoljuk az értékeket, de az túl uncsi. Csináljuk inkább így;

Az 5! felírható úgy, hogy 5*4!, a jobb oldalt pedig írjuk fel úgy, hogy 2*2^4. Ha most „szerencsénk van”, akkor az 5*4!-ban minden tényezőhöz található kisebb a másik szorzatból, ugyanis (pozitív számok esetén) ha nagyobb számokat szorzunk össze, akkor az eredmény is nagyobb lesz. Az nyilvánvaló, hogy 5>2, a 4!>2^4-ről pedig azért tudjuk, hogy igaz, mert azt az előbb megtapasztaltuk. Ennélfogva az 5*4! szorzat értéke nagyobb a 2^5 hatvány értékénél.

Egy kicsit eltérőek itt a lépések, mint az eredeti bizonyításban, de a lényeg ugyanaz; úgy bontogatjuk le a szorzatot helyes következtetéseket beiktatva, míg az egyikből nem kapjuk meg a másikat úgy, hogy a reláció köztük fennáljon.

Amikor felírod azt, hogy

(k+1)*k! >= (k+1)*2^k,

akkor itt valóban igaz, amit írsz, vagyis oszthatunk (k+1)-gyel, így marad k!>=2^k, ami nem azért lesz igaz, amit leírtál, hanem azért, mert ez az indukciós feltétel.

"A többi tagrol viszont tudjuk hogy a bal oldalon nagyobbak a tényezők, sőt több is van belőlük.

Az ilyen kijelentésekkel azért vigyázzunk, ugyanis ha a jobb oldalon nem 2^k lenne, hanem mondjuk 10^k, akkor máris nem lehet ilyen ténymegállapítást megtenni. Ezért érdekes az, hogy ahol lehet, ott az indukciós feltételre kell hivatkozni. Ez a felhasználás a teljes indukciós bizonyításoknál ELENGEDHETETLEN (legalábbis többnyire).