Leellenőrzitek nekem ezt a bizonyítási feladatot?

Üdv!

Nemrég kezdtem az emelt matekot, és a bizonyítás nekem még újdonságnak számít. Ezért minden olyan bizonyítást egyelőre megkérdezek, amit nem úgy bizonyítottam, ahogy a javítókulcsban van.

Előre is nagyon köszönöm az ellenőrzést, helyreigazítást!

Bizonyítsuk be, hogy bármely n egész szám esetén az

[(n^4-n^2)/24]-[(n^3-n)/12] kifejezés egész szám lesz.

Addig alkalmaztam ekvivalens átalakításokat, ameddig ki nem jött, az alábbi kifejezés:

n[n(n-1)(n+1)]-2[n(n-1)(n+1)] / 24

És akkor most az indoklás n nagyobb egyenlő, mint 3 feltétel esetén.

A 24=2*3*4, ezért 24 el osztható az összes n(n-1)(n+1) alakú szám

Legyen n(n-1)(n+1)=k, ekkor a kifejezés számlálója n*k-2*k lesz. (Ahol k a fentiek miatt 24 valamilyen egész számú többszöröse). A fenti feltételnek megfelelően akkor (n*k-2*k>0) a különbség is a 24 egész számú többszöröse lesz.

Ha n=0, vagy n=1 akkor a szorzat értéke 0 lesz, tehát az eredmény is 0 (0 esetén az n tényező miatt, 1 esetén pedig az (n-1) tényező miatt).

Ha n=2 akkor a számláló első tagja, és második tagja megegyezik, ezért a végeredmény szintén 0 lesz.

Ha n negatív egész, akkor pedig belátható, hogy ez a kifejezés annyiban módosul, hogy a két tag között nem kivonás, hanem összeadás lesz. Azonban a fentebbi bizonyítás miatt a számlálóban szintén 24 egész számú többszöröse lesz, így a kifejezés végeredményében szintén egész lesz.

Nagyon köszönöm előre is a segítséget, iránymutatást, helyreigazítást!