Kéne egy kis segítség elsőrendű logikában!?

1) bármely l eleme L |l eleme (U és G)

2) (nem M és nem m) -> nem U

3) Létezik l eleme L | l eleme nem m

4) Létezik l eleme L | l eleme (M és G)

Találtam magyar nyelvű diasorozatot (kicsit tágabb, bővebb taglalásban, de remélhetőleg össze lehet szedni belőle).

[link]

Ez barátságosan terjedelmes leírás.

Érdemes megnézni a Wikipédia-cikket is. Bár ez viszont nagyon tömény, de alul ajánl linkelt irodalmat (sok link törött, de ismételten rá lehet keresni a cím és szerző alapján). ?eg még lehet nézni a hozzátartozó angol és német Wikipédia-oldalt is.

[link]

Ami meg itt a kérdésben e konkrét feladatsort illeti, találtam ehhez nagyon hasonló angol feladatsort, amely ki is dolgozza a megoldást:

[link]

Lehet, hogy egy kicsit túl tömény a kidolgozás, ezért megpróbálok egy képzeletbeli, általam kitalált feladatot magam is kidolgozni itt, részletesebben:

/============\

|| A FELADAT ||

\============/

Kiinduló állítások (premisszák):

1. premissza: Egyes krimikedvelők nem szeretik a romantikus filmet.

2. premissza: Mindenki, aki szereti a krimit, az szereti a thrillert is, és a pszichodrámát is.

3. premissza: Aki nem szereti a romantikus filmet sem, és és a gyerekfilmet sem, az nem szereti a pszichodrámát sem.

A feladat: ezekből a fenti premisszákból következik e az alábbi állítás?:

(Konkluzió:) Van olyan krimikedvelő, aki szereti a gyerekfilmet is, és a thrillert is.

Hogyan lehet ezt bizonyítani? (Ha következik egyáltalán)

Hétköznapi módon próbálkozva:

* Az 1. premisszából következik, hogy egyáltalán vannak krimikedvelők.

* A 2. premisszából tudjuk, hogy ezek szeretik a pszichodrámát is.

* A 3.premisszából fordítva következtetve, tudjuk, hogy aki szereti a pszichpdrámát, az szükségszerűen kedveli a romantikus fimet vagy a gyerekfilmet (nem kell feltétlen mindkét műfajt, de legalább az egyiket). Figyeljük meg a sémát: A → B az ugyanaz mint ¬B → ¬A.

* Az 1. premisszából tudjuk, hogy egyes krimikedvelők nem szeretik a romantikus filmet. Így viszont akkor az előbbi sorban írt megallapitás csak úgy teljesülhet, ha e személyek a gyerekfilmet kedvelik.

* A 2. premisszából tudjuk, hogy a krimikedvelésből alapból következik a thriller kedvtelése is.

Összesítve: tudjuk hogy léteznek krimikedvelők, ők automatikusan szeretik a pszichodrámát is, szintén automatikusan szeretik a romantikus film és a gyerekfilm közül legalább az egyiket. De mivel egyes krimikedvelők a romantikust filmet nem szeretik, ezért náluk a gyerekfilm kedvelése lehet az egyetlen opció az előző megállapításból. Tehát: vannak krimikedvelők, akik biztosan a gyerekfilmet kedvelik. Mivel azonban a krimikedvelésből a thrillerkedvelés mindig következik, azt is ugyanúgy mondhatjuk: vannak krimikedvelők, akik kedvelik a gyerekfilmet is és a thrillert is. Éppen ezt kellett bizonyítani.

Azonban most rezolűcióval kéne bizonyítani.

A megoldás lépései:

1. lépés: visszavezetés az ellenmondásra

========================================

megfordítjuk (negáljuk) a feladatbeli bizonyitandó álltást. Vagyis ugy fogunk eljárni, hogy ideiglenesen feltételezzük, hogy a következtetés rossz (érvénytelen). Ezt úgy tesszük meg, hogy az 1-3. premisszához hozzávesszük a konkluzió logikai tagadását:

P1: Egyes krimikedvelők nem szeretik a romantikus filmet.

P2: Mindenki, aki szereti a krimit, az szereti a thrillert is, és a pszichodrámát is.

P3: Aki nem szereti a romantikus filmet sem, és és a gyerekfilmet sem, az nem szereti a pszichodrámát sem.

¬K: NEM LÉTEZIK olyan krimikedvelő, aki szereti a gyerekfilmet is, és a thrillert is.

a továbbiakban megpróbálunk ebből ellentmondásra jutni. Ha sikerül, akkor megbukik az a kiindulópontunk, hogy a következetés rossz volna. Tehát ezzel bizonyosodik be, hogy mégis jó.

2. lépés: formalizálás, vagyis fordítás az elsőrendű logika nyelvére

====================================================================

P1: Egyes krimikedvelők nem szeretik a romantikus filmet.

∃ X • kedvel(X, krimi) ∧ ¬kedvel(X, romantikus-film)

P2: Mindenki, aki szereti a krimit, az szereti a thrillert is, és a pszichodrámát is.

∀ X • kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller) ∧ kedvel(X, pszichodráma)

P3: Aki nem szereti a romantikus filmet sem, és és a gyerekfilmet sem, az nem szereti a pszichodrámát sem.

∀ X • ¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm) → ¬kedvel(X, pszichodráma)

¬K: NEM LÉTEZIK olyan krimikedvelő, aki szereti a gyerekfilmet is, és a thrillert is.

∄ X • kedvel(X, krimi) ∧ kedvel(X, gyerekfilm) ∧ kedvel(X, thriller)

Tehát a továbbiakban ebből próbálunk ellentmondásra jutni. Ha sikerül, akkor megbukik az a kiindulópontunk, hogy a következetés rossz volna, tehát jó.

3. Lépés: egyéb köztes átalakítások

===================================

A ∄ (nem létezik) kvantorral felírt állításra van egy szabály (a De Morgan azonosság idevonatkozó változata):

∄ X • kedvel(X, krimi) ∧ kedvel(X, gyerekfilm) ∧ kedvel(X, thriller)

az pontosan annyit jelent, mint

∀ X • ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

Tehát immár az alábbi formulahalmazból kell ellentmondásra jutnunk:

∃ X • kedvel(X, krimi) ∧ ¬kedvel(X, romantikus-film)

∀ X • kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller) ∧ kedvel(X, pszichodráma)

∀ X • ¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm) → ¬kedvel(X, pszichodráma)

∀ X • ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

4. lépés: Skolemizálás

======================

[link]

A skolemizálás összetett fogalom, jelen esetben annyiban nyilvánul meg, hogy a kvantorokat (∀, ∃) elhagyjuk.

- A ∀ kvantorokat egyszerűen elhagyjuk, vagyis az X változó nyílt előfordulását alapból univerzális (,,minden'') kvantorként értjük.

- A ∃ kvantor esete bonyolultabb. A ,,létezés'' fogalmát úgy próbájuk visszaadni, hogy rögtön konkrét egyéneket ,,nevezünk ki''.

Tehát a

∃ X • kedvel(X, krimi) ∧ ¬kedvel(X, romantikus-film)

állítást rögtön ,,megszemélyesítjük'':

kedvel(ádám, krimi) ∧ ¬kedvel(ádám, romantikus film)

Így az alábbi kinézete lesz a formalizált állításainknak:

P1: kedvel(ádám, krimi) ∧ ¬kedvel(ádám, romantikus-film)

P2: kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller) ∧ kedvel(X, pszichodráma)

P3: ¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm) → ¬kedvel(X, pszichodráma)

¬K: ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

5. lépés: Konjunktív normálforma

================================

[link]

A második premisszát

kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller) ∧ kedvel(X, pszichodráma)

bontsuk szét így:

kedvel(X, krimi) → kedvel(X, pszichodráma)

kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller),

mert így könnyebb lesz dolgozni vele.

P1: kedvel(ádám, krimi) ∧ ¬kedvel(ádám, romantikus-film)

P2: (kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller)) ∧ (kedvel(X, krimi) → kedvel(X, pszichodráma))

P3: ¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm) → ¬kedvel(X, pszichodráma)

¬K: ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

Daraboljuk szét az ∧-ek mentén is őket:

P1/a: kedvel(ádám, krimi)

P1/b: ¬kedvel(ádám, romantikus-film)

P2/a: kedvel(X, krimi) → kedvel(X, thriller)

P2/b: kedvel(X, krimi) → kedvel(X, pszichodráma)

P3: ¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm) → ¬kedvel(X, pszichodráma)

(Megjegyzés: Itt **nem** darabolhatunk ∧ mentén, hisz az ∧ az képzeletben zárójelen belül van: precendenciaszabályok!)

¬K: ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

Még jön egy nagy átalakítássorozat, ehhez az alábbi összefüggést kell értelemszerűen alkalmazni:

Egy P → Q formulát le lehet fordítani a vele teljesen egyenrangú ¬P ∨ Q formulára.

Ekkor így fognak kinézni formuláink:

P1/a: kedvel(ádám, krimi)

P1/b: ¬kedvel(ádám, romantikus-film)

P2/a: ¬kedvel(X, krimi) ∨ kedvel(X, thriller)

P2/b: ¬kedvel(X, krimi) ∨ kedvel(X, pszichodráma)

P3: ¬(¬kedvel(X, romantikus-film) ∧ ¬kedvel(X, gyerekfilm)) ∨ ¬kedvel(X, pszichodráma)

¬K: ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

Itt a P3 maradt az egyetlen elég összetett alakúnak maradt állítás. Lássuk meg benne a De Morgan azonosság sémáját: ¬(A ∧ B) az egyenértékű azzal hogy ¬A ∨ ¬B. Ennek alapján:

P3: kedvel(X, romantikus-film) ∨ kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, pszichodráma)

Rakjuk össze újra:

P1/a: kedvel(ádám, krimi)

P1/b: ¬kedvel(ádám, romantikus-film)

P2/a: ¬kedvel(X, krimi) ∨ kedvel(X, thriller)

P2/b: ¬kedvel(X, krimi) ∨ kedvel(X, pszichodráma)

P3: kedvel(X, romantikus-film) ∨ kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, pszichodráma)

¬K: ¬kedvel(X, krimi) ∨ ¬kedvel(X, gyerekfilm) ∨ ¬kedvel(X, thriller)

6. lépés: Rezolúciók menete:

============================

1. rezolúciós lépés (R1):

P1/a és P2/a egyesítve ádám mentén, kiesik a krimi kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

kedvel(ádám, thriller)

2. rezolúciós lépés (R2):

P1/a és P2/b egyesítve ádám mentén, kiesik a krimi kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

kedvel(ádám, pszichodráma)

3. rezolúciós lépés (R3):

R2 és P3 egyesítve ádám mentén, kiesik a pszichodráma kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

kedvel(ádám, gyerekfilm) ∨ kedvel(ádám, romantikus-film)

4. rezolúciós lépés (R4):

R3 és P1/b egyesítve ádám mentén, kiesik a romantikus film kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

kedvel(ádám, gyerekfilm)

5. rezolúciós lépés (R5):

R4 és ¬K egyesítve ádám mentén, kiesik a gyerekfilm kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

¬kedvel(ádám, krimi) ∨ ¬kedvel(ádám, thriller)

6. rezolúciós lépés (R6):

R1 és R5 egyesítve ádám mentén, kiesik a thriller kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad:

¬kedvel(ádám, krimi)

7. rezolúciós lépés (R7):

P1/a és R6 egyesítve ádám mentén, kiesik a krimi kedvelése vagy nem kedvelése.

Marad: üres diszjunkció

Az üres diszjunkciót hamisnak tekintjük.

Tehát sikerült levezetnünk a ,,hamis'' állítást.

Ellentmondásra jutottunk.

Mivel az ellentmondásra onna jutottunk, hogy a feladatban kitűzött következtetés tagadásából indultunk ki, ezért az eredeti állítás (vagyis a feladatban kitűzött következtetés) igaz, ezt íme bebizonyítottuk.

Úgy látom, hogy az alábbi kérdés

https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazif..

kontextust is ad a feladathoz.

Ehhez a kérdéshez most rakok is föl anyagot.

A rezolúció remélem jó, a Prolog fordítását viszont még nem tudom. Kibővített Prologba (vágás, tagadás) szerintem le lehetne fordítani. Azt nem tudom, hogy tiszta Prologba le lehet-e fordítani (vagyis vágás, tagadás, szóval metaoperátorok nélkül).