Egyszerre 3 kockával addig dobunk, amíg legalább az egyik kockán 5-öst, vagy 6-ost nem kapunk (tehát ha pl, 1,2,2, akkor újra dobunk, de ha 1,4,5 vagy 5,5,6 jön ki akkor megállunk. Mennyi a valószínűsége az alábbi eseményeknek?

Egy dobásnál nem dobunk 5-t és 6-ot: 4^3/6^3=(2/3)^3=8/27

Egy dobásnál dobunk 5-t vagy 6-ot: 19/27

n. dobásra dobunk először 5-t vagy 6-t: (8/27)^(n-1)*(19/27)

Geometriai eloszlás:

[link] (A változat)

p=19/27

Innen megy?

a) fenti képlet n=5-tel

b) (8/27)^3

c) minek a várható értéke? netán egy dobásból a 3 szám összegéé?

d) megegyezik a b) válasszal, mert független események az egymást követő dobások

Úgy is kijöhet, ahogy te mondod, igen. De P(A metszet B) megegyezik P(A)-val, mert ha 6-szor sikertelen, akkor az első 3 dobás is az volt. A és B nem független.

(8/27)^6/(8/27)^3

A második három dobás független az első háromtól. Ha már dobtunk hármat, nem befolyásolja, hogy az azt követő 3 dobás mi lesz. Az azt követő 3 dobás valószínűsége viszont megegyezik azzal, mint ha semmi előélet nélkül dobnánk 3-at. Ezért ugyanaz, mint a b)

Maradva a kallsszikus valószínűségi modelnél;

a) Ezt még középszintű tudással is meg kell tudni oldani;

Összes eset: mivel egyszerre dobjuk a kockákat, ezért a sorrend ne számít, viszont érdemes egy dolgot megjegyezni; ha nem számít a sorrend, akkor is számolhatunk úgy, mintha számítana, sok esetben (mint ez is) pedig érdemesebb is. Egy dobásból 6*6*6=216-féle lehetőség lehet, így 5 dobásból 216*216*216*216*216-féle lehetőség van az 5 dobásra.

Kedvező eset: ehhez azt kell megnéznünk, hogy hány esetben dobunk "jól" és dobnk "rosszul";

Rosszul dobás: amikor nincs sem 5-ös, sem 6-os, így egy dobánál 4*4*4=64 lehetőség van.

Jól dobás: amikor nem rosszul dobunk, tehát egy egyszerű kivonással: 216-64=152 esetben lesz vagy 5-ös, vagy 6-os, vagy mindkettő. Innen a kedvező eset; az első 4-re rosszul kell dobnunk, a végére pedig jól, tehát 64*64*64*64*152 esetben állunk le pontosan 5. alkalomra a dobásokkal.

Valószínűség: kedvező/összes = (64*64*64*64*152)/(216*216*216*216*216) =~0,0054237

b) Ennél a feladatnál egy kicsit módosítunk a stratégián; csak dobáljuk a vakvilágba a kockákat a végtelenségig, és utólag nézzük meg, hogy mikor lesz először az, hogy lesz 5-ös vagy 6-os, és az a dobássorozat azt a számértéket kapja. Például ha 8.-ra lesz először "jó dobás", akkor annak a dobássorozatnak az értéke 8 lesz, de attól mi még dbálunk tovább. Ennek megfelelően;

Összes eset: 216^n, ahol n pozitív egész és legalább 3

Kedvező eset: "rossz esetet" számolunk; azt nézzük meg, hogy ezek közül hánynak lesz az értéke 1, 2, vagy 3;

A dobássorozat értéke 1: 152*216^(n-1)

A dobássorozat értéke 2: 64*152*216^(n-2)

A dobássorozat értéke 3: 64*64*152*216^(n-3)

A fentiek összege szerint legfeljebb 3 dobásból meglesz a "jó dobás, így

216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3) esetben kell 3-nál többször dobnunk. A valószínűség újra kedvező/összes;

[216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3)]/216^n

Itt egy n-től függő határértékünk van, azonban mi *végtelenszer* dobunk, tehát ennek a határértéket kell néznünk, amikor n>- végtelen, tehát a keresett valószínűség:

lim [216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3)]/216^n =

n->végtelen

[link]

Az látható, hogy ez a sorozat valójában a konstans 512/19683 sorozat, ami valójában (8/27)^3, ami a 2-es válaszban is látható. A valószínűség egyébként egyszerű algebrai eszközökkel kijön, egyszerűen a törtet egyszerűsítjük 216^(n-3)-mal, ekkor:

= [216^3-152*216^2-64*152*216^1-64*64*152*216^0]/216^3

Persze sokkal egyszerűbben is lehetett volna számolni; a végtelen sok dobásra nincs is szükség, azt csak a szemléltetés miatt gondoltam leírni (illetve más feladatoknál majd hasznát kell vegyük), esetünkben csak azt kell megnézni, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy 3 dobás alatt nem lesz sem 5-ös, sem 6-os, viszont itt is követjük azt a stratégiát, hogy dobunk háromszor, és utólag nézzük meg, hogy van-e jó dobás;

Összes eset: 216*216*216 = 216^3

Kedvező eset: a rossz eseteket nézve;

1.-re dobunk jól először: 152*216*216

2.-ra dobunk jól először: 64*152*216

3.-ra dobunk jól először: 64*64*152

Tehát a kedvező eset: 216^3 - 152*216*216 - 64*152*216 - 64*64*152

Valószínőség: (216^3 - 152*216*216 - 64*152*216 - 64*64*152)/216^3, ez pont megegyezik az előbbi törttel.

c) Várható érték: a várható érték gyakorlatilag nem más, minthogy megnézzük azt, hogy ha a LÉTEZŐ ÖSSZES lehetőséget ki tudnánk dobálni, akkor ÁTLAGOSAN mennyi lenne az előbb taglalt érték (vagyis az a szám, ami megmutatja, hogy hányadjára dobtunk elsőnek jót). Ennek megfelelően;

Összes eset: 216^n

Azon sorozatok száma, amelyeknek értéke 1: 152*216^(n-1)

Azon sorozatok száma, amelyeknek értéke 2: 64*152*216^(n-2)

Azon sorozatok száma, amelyeknek értéke 3: 64^2*152*216^(n-3)

Azon sorozatok száma, amelyeknek értéke 4: 64^3*152*216^(n-4)

Ebből már láthatjuk a sémát;

Azon sorozatok száma, amelyeknek értéke k: 64^(k-1)*152*216^(n-k), ahol k pozittív egész.

Tehát a sorozatok értékeinek összegét (azért az összeg, mert átlagot akarunk számolni) úgy kapjuk, hogy a sorozatok számosságát megszorozzuk az értékükkel, tehát az összeg így alakul;

végtelen

sum (k*64^(k-1)*152*216^(n-k))

k=1

Nyilván itt is az összeg egy n-től függő érték lesz, mivel az összegben benne van az n. Ettől még az átlagot tudjuk képezni, ami sum()/216^n lesz. Ennek viszont újra a határértéke kell;

az összeg: [link]

az átlag (határérték a végtelenben): [link]

Itt is észrevehető, hogy mindenféle határérték 27/19, tehát a megfelelő átalakítással ebből is konstansfüggvény kreálható.

Tehát a várható érték 27/19, ami azt jelenti, hogy a "27/19-edik" dobásra fogunk jót dobni. Ennek az értéke ~1,42, tehát várhatóan elsőre vagy másodikra fogunk jót dobni.

d) Az előbb kiszámoltuk, hogy hány esetben kell legalább 4 dobás;

216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3), most ez lesz nekünk az összes eset.

Kedvező eset:

4.-re dobunk jól először: 64^3*152*216^(n-4)

5.-re dobunk jól először: 64^4*152*216^(n-5)

6.-ra dobunk jól először: 64*64*152*216^(n-6)

Ezeket kivonva az összes esetből kapjuk a jó eseteket, majd osztunk az összes esettel:

(216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3)-64^3*152*216^(n-4)-64^4*152*216^(n-5)-64*64*152*216^(n-6))/(216^n-152*216^(n-1)-64*152*216^(n-2)-64*64*152*216^(n-3)) =

[link]

Elvileg nem írtam el semmit, és más jött ki, mint a b)-re.

Elírtam, és meg is van az elírás. Helyesen:

[link]

Ugyanaz az eredmény jött ki, mint a b)-re.