Milyen méretei vannak a legkisebb felszínű 1 dm^3 térfogatú henger alakú konzervdoboznak?

1=r^2*Pi*m => m=1/(r^2*Pi)

A=2*r*Pi(r+m)=2*r^2*Pi+2/r

Ennek minimumát már meg tudod keresni?

Felteszem, hogy zárt konzervdobozra gondolsz.

Azt r sugarú alapkörű henger térfogata r^2*pi*M, ennek akkor lesz 1 dm^3 a térfogata, hogyha a magasság M=1/(r^2*pi)

Ennek a testnek a felszíne:

A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*M = 2*r^2*pi + 2*r*pi*1/(r^2*pi), vagyis

A = 2*r^2*pi + 2/r

A minimum meghatározása a deriválttal:

A' = 4*r*pi - 2/r^2, ennek kell 0-nak lennie a (0;végtelen) intervallumon;

4*r*pi - 2/r^2 = 0, szorzunk r^2-tel;

4*r^3*pi - 2 = 0, rendezés után

r = köbgyök(0,5/pi) =~ 0,542, tehát 0,542 dm hosszúságú a kör sugara 3 tizedesjegyre kerekítve.

Ha nyitott konzervdoboz kell:

A = r^2*pi + 2/r

A' = 2*r*pi - 2/r^2, ennek kell 0-nak lennie:

2*r*pi - 2/r^2 = 0, ennek eredménye r = köbgyök(1/pi) = 0,683 dm.