Osszuk fel a 8-at két részre úgy, hogy az egyik rész négyzetének és a másik rész köbének az összege a lehető legkisebb legyen?

f(x)=x^3+(8-x)^2

Ennek a függvénynek nincs se minimuma, se maximuma.

Ha pozitív részekre akarsz bontani, akkor deriválással kapható, hogy x=2 a minimumhely.

A derivált:

f'(x)=3x^2+2x-16

Ennek zérushelyei:2 és -5/3. Ezek közül az előbbi pozitív.

Jobb lett volna, ha leírod, hogy hogyan számoltál, de mindegy.

Legyen az egyik szám x, ekkor a másik 8-x, ekkor az x^3+(8-x)^2 minimuma kell. Először bontsuk ki a zárójelet;

x^3+(8-x)^2 = x^3+64-16x+x^2 = x^3 + x^2 - 16x + 64

Felosztása alatt valószínűleg azt érti a feladat, hogy mindkét rész nem negatív, vagyis x a [0;8] intervallum eleme.

Innen a legegyszerűbb deriválással továbbmenni;

(x^3 + x^2 - 16x + 64)' = 3x^2+2x-16, és az a kérdés, hogy ez hol 0, erre a válasz az, hogy x=2 és x=-8/3, utóbbi kiesik az intervallumról. Tehát x=2, így 8-x=6, a kettő hatványozott összege 2^3+6^2=8+36=44

Ellenőrzés; azt kell belátnunk, hogy a [0;8] intervallumon

x^3 + x^2 - 16x + 64 >= 44 mindig teljesül. Vonjunk ki 44-et;

x^3 + x^2 - 16x + 20 >= 0

Azt tudjuk, hogy az egyenlet megoldása x=2, tehát (x-2) kiemelhető belőle, erre több lehetőség is van (kellene tudni, hogy tanultál-e mondjuk polinomosztást). A lényeg, hogy ezt kapjuk:

(x-2)*(x^2+3x-10) >= 0, a másodfokú tagot tovább tudjuk bontani;

(x-2)*(x-2)*(x+5) >= 0, vagyis

(x-2)^2*(x+5) >= 0

Szemlátomást a bal oldal az x=2-t leszámítva mindig pozitív értéket vesz fel a megadott intervallumon, tehát valóban a 44 lesz az eredeti kifejezés minimumértéke az x=2-nél.

Valószínűleg az (x-8)^2 (vagy (x-8)^3, felírástól függően) tagot nem bontottad ki, anélkül deriváltad (helytelenül), és emiatt nem jött ki az eredmény.

De ha leírod, hogy mit írtál, meg tudjuk benne találni a hibát.