Szerkesszünk az ABC háromszög AB oldalán olyan pontot,amely a B és C pontoktól egyenlő távolságra van. Elemezzük a feladatot! Melyik mértani hely ez?

"Melyik mértani hely ez?"

Az egyik súlyvonal talppontja.

Furcsa, hogy az első két válasz fel lett pontozva, pedig messze állnak a megoldástól. A második válasz konkrétan rossz, olyannyira, hogy nem is létezik olyan kifejezés, hogy "súlyvonal talppontja". Valószínűleg a magassávonal talppontjára gondolt, de nem ez lesz a válasz a kérdésre.

Az valóban igaz, hogy a BC szakasz oldalfelező merőlegesét kell megszerkeszteni, ugyanis ezen az egyenesen fekszenek azok a pontok, amelyek a két végponttól egyenlő távolságra vannak. És ahogyan azt az első válaszoló is írta, az AB oldalegyenesét metszi az oldalfelező merőleges, és a metszéspont lesz a keresett pont, ugyanis nem feltétlen metszi az oldalt, adott esetben az oldal meghosszabbítását fogja metszeni, de még az is lehet, hogy azt sem. Hogy mikor mit metsz, az a jellemzésből (diszkusszióból) derül ki;

Első körben rajzoljunk egy egyenlő szárú háromszöget (lehet szabályos is), alapja legyen a BC oldal. A jobb érthetőség kedvéért úgy írom, hogy a BC oldal legyen vízszintes, balra a B, jobbra a C csúcs. Ebben a háromszögben nyilvánvaló, hogy a keresett pont az A csúcs lesz, mivel a BC oldal felező merőlegese egy függőleges egyenes, ami a BC oldal felezőpontján megy át.

Ha ez megvan, akkor a BC-vel párhuzamosan (szintén vízszintesen) húzzunk egy egyenest az A csúcson keresztül. Ezen az egyenesen fogjuk az A csúcsot mozgatni. (Reményeim szerint valaki fog csinálni egy geogebrás dinamikus ábrát, én sajnos nem tudok olyat.)

-Ha az A csúcsot jobbra, vagyis a C oldal irányába mozgatjuk, akkor azt láthatjuk, hogy a függőleges egyenes minden gond nélkül metszi az AB oldalt. A mozgatás során azt vehetjük észre, hogy a B csúcsnál lévő szög csökken, a C csúcsnál lévő szög pedig nő. Eredetileg a B és C csúcsoknál lévő szög egyenlő volt, most pedig azt látjuk, hogy ez az egyenlőség felborul úgy, hogy mindig a B csúcsnál lévő szög lesz a kisebb. Tehát ha a háromszög B csúcsánál lévő szög kisebb a C csúcsnál lévő szögnél, akkor a BC felező merőlegese az AB oldalt fogja metszeni.

-Most tegyük vissza az eredeti helyére az A csúcsot, és kezdjük el balra mozgatni. Azt látjuk, hogy az AB oldalt "felfelé" meg kell hosszabbítanunk ahhoz, hogy a függőleges egyenes el tudja metszeni az AB oldal egyenesét. Ekkor a B csúcsnál lévő szög elkezdett nőni, a C csúcsnál lévő pedig csökkenni.

-Ha tovább mozgatjuk, egyszercsak azt látjuk, hogy hiába hosszabbítanánk meg, nem lenne metszéspont. Ez azért van, mert az AB oldal párhuzamos a BC oldal felező merőlegesével, tehát nem fogják egymást metszeni. Tehát ha a B csúcsnál derékszög van, akkor a keresett metszéspont nem létezik.

-A továbbmozgatás hatására már újra lesz megoldás, annyi különbséggel, hogy most nem "felfelé", hanem "lefelé" kell az AB oldalt meghosszabbítanunk.

Általánosságban tehát, ha a B csúcsnál derékszög van, akkor nem létezik a keresett pont, egyébként ha a B csúcsnál lévő szög nagyobb a C csúcsnál lévő szögnél, akkor a keresett pont a háromszögön kívül található, ha pedig a B csúcsnál lévő szög kisebb a C csúcsnál lévő szögnél, akkor a keresett pont az AB oldalon található.

Hogy ennek a pontnak van-e konkrét neve, azt nem tudom.

#3

Tényleg nem jót írtam. Csak felületesen olvastam el a feladatot.

2-es.