Jó estét! Hogyan tudom megállapítani egy érintő egyenletét ha a metszéspont koordinái meg vannak adva? Mint pl. ha a egy x^2+5 egyenletű parabolát a (-2;9) pontban érinti egy érintő?

Ha tudsz deriválni;

Deriválod a függvényt: (x^2+5)'=2x, az x=(-2) helyen a derivált értéke 2*(-2)=-4, tehát egy (-4) meredekségű lineáris függvényt keresel. Ez azt jelenti, hogy a (-2;9) pont mellett a (-1;5) pontot is ismered, erre a két pontra pedig nem nehéz az egyenes egyenletét felírni, ami az érintő lesz.

Ha nem tudsz deriválni;

Azt kell tudnod (akárcsak a kör esetén), hogy ha egy (nem speciális* alakú) egyenes 1 pontban metszi a parabolát, akkor az érintő. (*Speciális alakú egyenes: ami párhuzamos a parabola csúcspontja és fókuszpontja által meghatározott egyenessel, esetünkben ezek nem lehetnek lineáris függvények, mivel "függőlegesen állhatnak csak"). Tehát egy olyan mx+b alakú lineáris függvényt keresel, amelyre igaz hogy az

x^2+5 = mx+b egyenletnek pontosan 1 megoldása van, ami az x=(-2). Rendezve az egyenletet:

x^2-mx+(5-b) = 0, ennek megoldása a megoldóképlet szerint:

x(1;2) = (m +- gyök(m^2-4*1*(5-b)))/2

Mivel pontosan 1 megoldás kell, ezért a diszkrimináns 0, így x=m/2, viszont az x=(-2)-nek kell, hogy legyen az eredeti megoldása, tehát -2=m/2, vagyis -4=m. Innen pedig ugyanaz a feladat, int amit az előbb írtam azután, hogy megtudtuk a keresett meredekséget.