Itt helyes az amikor?

Nem helytelen, de „bántsa a fület”. Én inkább „hogy”-ot használnék helyette, de értem, hogy nem akarod kétszer használni.

És nem ártana a sorrenden is változtatni;

Nem sokkal azután, amikor/hogy a testvére külföldre költözött, derült ki, hogy beteg.

A másik dolog, hogy a szövegkörnyezetből valószínűleg kiderül, de ebből az egy mondatból nem derül ki, hogy ki a beteg.

Szerintem itt a hogy sem jobb, mint az amikor, mert a közbeékelődő tagmondat miatt távol kerül a főmondattól, és a két hogy kissé zavaró.

Én miutánt használnék.

#2 Ha a hogy-hogy párost kényelmetlennek érzi a kérdező (joggal), akkor az azután-miután sem igazán "szép". Ilyen dilemma esetén én meg szoktam cserélni a sorrendet:

(Alighogy) a testvére külföldre költözött, nem sokkal utána kiderült, hogy (ő) beteg.

#3 A stilisztika nem a nyelvtudomány része?

Az első válaszoló jól megírta, hogy az „amikor” helyett a „hogy” passzolna leginkább (ha nem ékelődne be közé a „hogy beteg”, akkor nem is lenne kérdés, hogy úgy kell írni: „azután derült ki, hogy külföldre költözött”).

Nyelvtanilag és logikailag tehát a két hogy-os mondat lenne a megfelelő, stilisztikailag viszont pocsék.

Ezért írta ki a kérdést a kérdező, legalábbis szerintem.